2022年全国乙卷数学文科高考真题原版答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则（）{2,4,6,8,10},{16}MNxxMNA．B．C．D．{2,4}{2,4,6}{2,4,6,8}{2,4,6,8,10}2．设，其中为实数，则（）(12i)2iab,abA．B．C．D．1,1ab1,1ab1,1ab1,1ab3．已知向量，则（）(2,1)(2,4)，ab||abA．2B．3C．4D．54．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65．若x，y满足约束条件则的最大值是（）2,24,0,xyxyy…„…2zxyA．B．4C．8D．1226．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则2:4Cyx(3,0)B||||AFBF（）||ABA．2B．C．3D．22327．执行右边的程序框图，输出的（）nA．3B．4C．5D．68．右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）[3,3]A．B．C．D．3231xxyx321xxyx22cos1xxyx22sin1xyx9．在正方体中，分别为的中点，则（）1111ABCDABCD,EF,ABBCA．平面平面B．平面平面1BEF1BDD1BEF1ABDC．平面平面D．平面平面1BEF∥1AAC1BEF∥11ACD10．已知等比数列的前3项和为168，，则（）na5242aa6aA．14B．12C．6D．311．函数在区间的最小值、最大值分别为（）cos1sin1fxxxx0,2πA．B．C．D．ππ22，3ππ22，ππ222，3ππ222，12．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．13123322二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．nSna32236SSd14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．15．过四点中的三点的一个圆的方程为______．0,0,4,0,1,1,4,216．若是奇函数，则_____，______．1ln1fxabxab三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知ABC△．sinsinsinsinCABBCA（1）若，求C；2AB（2）证明：.2222abc18．（12分）如图，四面体中，，E为AC的中点．ABCD,,ADCDADCDADBBDC（1）证明：平面平面ACD；BED（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱2,60ABBDACBAFC△锥的体积．FABC19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）2m和材积量（单位：），得到如下数据：3m样本号i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得，，．10210.038iix10211.6158iiy1010.2474iiixy（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林2186m区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数，．12211niiinniiiixxyyrxxyy1.8961.37720．（12分）已知函数．1()(1)lnfxaxaxx（1）当时，求的最大值；0a()fx（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．()fx21．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．3(0,2),,12AB（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段交(1,2)PAB于点T，点H满足，证明：直线过定点．MTTHHN（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为xOy3cos2,2sinxtyt极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．πsin03m（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且，证明：3332221abc（1）；19abc（2）．12abcbcacababc2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.D11.D12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.214.##0.331015.或或或222313xy22215xy224765339xy；2281691525xy16.①.；②.．12ln2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（1）；5π8（2）由可得，sinsinsinsinCABBCA，再由正弦定理可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA，然后根据余弦定理可知，coscoscoscosacBbcAbcAabC，化简得：22222222222211112222acbbcabcaabc，故原等式成立．2222abc18.【小问1详解】由于，是的中点，所以.ADCDEACACDE由于，所以，ADCDBDBDADBCDBADBCDB△△所以，故，ABCBACBD由于，平面，DEBDD,DEBDÌBED所以平面，ACBED由于平面，所以平面平面.ACACDBEDACD【小问2详解】依题意，，三角形是等边三角形，2ABBDBC60ACBABC所以，2,1,3ACAECEBE由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.,ADCDADCDACD1DE，所以，222DEBEBDDEBE由于，平面，所以平面.ACBEE,ACBEABCDEABC由于，所以，ADBCDB△△FBAFBC由于，所以，BFBFFBAFBCABCBFBAFBCAA所以，所以，AFCFEFAC由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.12AFCSACEFAEFAFC过作，垂足为，EEFBDF在中，，解得，RtBED△1122BEDEBDEF32EF所以，223131,2222DFBFDF所以.34BFBD过作，垂足为，则，所以平面，且，FFHBEH//FHDEFHABC34FHBFDEBD所以,34FH所以.111332333244FABCABCVSFHA19.（1）；20.06m30.39m（2）0.97（3）31209m20.（1）1（2）0,21.（1）22143yx（2）(0,2)【小问1详解】解：设椭圆E的方程为，过，221mxny30,2,,12AB则，解得，，41914nmn13m14n所以椭圆E的方程为：.22143yx【小问2详解】，所以，3(0,2),(,1)2AB2:23AByx①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1,2)P1x22134xy可得，，代入AB方程，可得26(1,)3M26(1,)3N223yx，由得到.求得HN方程：26(63,)3TMTTH26(265,)3H，过点.26(2)23yx(0,2)②若过点的直线斜率存在，设.(1,2)P1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy联立得，22(2)0,134kxykxy22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk可得，，1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk12222228(2)344(442)34kyykkkyyk且1221224(*)34kxyxyk联立可得1,223yyyx111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时，1222112:()36yyHNyyxxyxx将，代入整理得，(0,2)12121221122()6()3120xxyyxyxyyy将代入，得(*)222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.（1）320xym（2）195122m[选修4—5：不等式选讲]23.【小问1详解】证明：因为，，，则，，，0a0b0c320a320b320c所以，33333322232223abcabc即，所以，当且仅当，即时取等号．1213abc19abc333222abc319abc【小问2详解】证明：因为，，，0a0b0c所以，，，