2022年全国乙卷数学理科高考真题原卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合M满足，则（）{1,2,3,4,5}U{1,3}UMðA．B．C．D．2M3M4M5M2．已知，且，其中a，b为实数，则（）12iz0zazbA．B．C．D．1,2ab1,2ab1,2ab1,2ab3．已知向量满足，则（）,ab||1,||3,|2|3abababA．B．C．1D．2214．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：nb，，，…，依此类推，其中1111b212111b31231111b．则（）(1,2,)kkNA．B．C．D．15bb38bb62bb47bb5．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则2:4Cyx(3,0)B||||AFBF（）||ABA．2B．C．3D．22326．执行下边的程序框图，输出的（）nA．3B．4C．5D．67．在正方体中，E，F分别为的中点，则（）1111ABCDABCD,ABBCA．平面平面B．平面平面1BEF1BDD1BEF1ABDC．平面平面D．平面平面1BEF∥1AAC1BEF∥11ACD8．已知等比数列的前3项和为168，，则（）na2542aa6aA．14B．12C．6D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．1312332210．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率123,,ppp3210ppp为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与12,FF1FC交于M，N两点，且，则C的离心率为（）123cos5FNFA．B．C．D．523213217212．已知函数的定义域均为R，(),()fxgx且．若的图像关于直线对称，()(2)5,()(4)7fxgxgxfx()ygx2x，则（）(2)4g221()kfkA．B．C．D．21222324二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．14．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)15．记函数的最小正周期为T，若，()cos()(0,0)fxx3()2fT为的零点，则的最小值为____________．9x()fx16．己知和分别是函数（且）的极小值点和极1xx2xx2()2exfxax0a1a大值点．若，则a的取值范围是____________．12xx三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记的内角的对边分别为，已ABC△,,ABC,,abc知．sinsin()sinsin()CABBCA（1）证明：；2222abc（2）若，求的周长．255,cos31aAABC△18．（2分）如图，四面体中，，E为的中点．ABCD,,ADCDADCDADBBDCAC（1）证明：平面平面；BEDACD（2）设，点F在上，当的面积最小时，求2,60ABBDACBBDAFC△与平面所成的角的正弦值．CFABD19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单2m位：），得到如下数据：3m样本号i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．10101022iiiii=1i=1i=10.038,1.6158,0.2474xyxy（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林2186m区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．i=122=1=1()(),1.89617()7().3niinniiiixxyyrxxyy20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．30,2,,12AB（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交1,2P于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．MTTH21．（12分）已知函数.ln1exfxxax（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1ayfx0,0f（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．fx1,0,0,（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为xOy3cos2,2sinxtyt极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．sin03m（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且，证明：3332221abc（1）；19abc（2）．12abcbcacababc2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.31014.或或或222313xy22215xy224765339xy；2281691525xy15.316.1,1e三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（1）证明：因为，sinsinsinsinCABBCA所以，sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC所以，2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab即，22222222222acbabcbca所以；2222abc（2）解：因为，255,cos31aA由（1）得，2250bc由余弦定理可得，2222cosabcbcA则，50502531bc所以，312bc故，2222503181bcbcbc所以，9bc所以的周长为.ABCA14abc18.（1）因为，E为的中点，所以；ADCDACACDE在和中，因为，ABD△CBDA,,BACDCDADBDBDBD所以，所以，又因为E为的中点，所以；ABDCBD≌△△ABCBACACBE又因为平面，，所以平面，,DEBEBEDDEBEEACBED因为平面，所以平面平面.ACACDBEDACD（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，EFACBEDEFBED所以，所以，ACEF1=2AFCSACEF△当时，最小，即的面积最小.EFBDEFAFC△因为，所以，ABDCBD≌△△2CBAB又因为，所以是等边三角形，60ACBABCA因为E为的中点，所以，，AC1AEEC3BE因为，所以,ADCD112DEAC在中，，所以.DEBA222DEBEBDBEDE以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，EExyz则，所以，1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD1,0,1,1,3,0ADAB设平面的一个法向量为，ABD,,nxyz则，取，则，030nADxznABxy3y3,3,3n又因为，所以，331,0,0,0,,44CF331,,44CF所以，643cos,77214nCFnCFnCF设与平面所成的角的正弦值为，CFABD02所以，43sincos,7nCF所以与平面所成的角的正弦值为.CFABD43719.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x样本中10棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，20.06m平均一棵的材积量为30.39m（2）1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010xxyyxyxyrxxyyxxyy22(0.038100.06)(1.615810.2474100.060.390.01340.01340.970.013770.0000018996.3)则0.97r（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，3mY又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．0.06186=0.39Y3=1209mY则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20.（1）解：设椭圆E的方程为，过，221mxny30,2,,12AB则，解得，，41914nmn13m14n所以椭圆E的方程为：.22143yx（2），所以，3(0,2),(,1)2AB2:23AByx①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1,2