2022年高考数学第27讲平面向量的数量积解析版一轮复习讲义基础版

1第27讲平面向量的数量积1、向量的数量积(内积)对于两个非零向量a与b，我们把数量||||cos,abab叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab，即||||cos,ababab。2、两个向量内积有如下重要性质(1)如果e是单位向量，则||cos,aeeaaae(0a)．(2)0abab(3)2||aaa或aaa(4)cos,||||ababab．(5)||||||abab题型一：平面向量数量积的定义1．（2021·江西景德镇一中高一期中（理））在ABC中，若0ACABuuuruuur，则此三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形2．（2021·北京东城·）若,ab都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．abB．1abC．//abD．abrr3．（2021·上海）下列等式正确的是（）A．00cB．()()abcabcC．00aD．00b4．（2021·全国）下列命题正确的是（）A．||||||ababB．0||||0ababC．0||||0ababD．()cabcacb5．（2021·全国高一课时练习）下列命题正确的个数是①0ABBA；②00AB；③ABACBC；④0AB0A．1B．2C．3D．46．（2021·浙江高一单元测试）设a、b、c是非零向量，则下列说法中正确是A．()()abccbaB．ababC．若abac，则bcD．若,abac，则bc题型二：平面向量数量积的意义1．（2021·江西九江一中高一期中）向量1,1a在向量3,4b上的射影为（）A．22B．22C．15D．152．（2021·四川成都外国语学校高一期中（理））已知6a，3b，向量a在b方向上投影是4，则ab为（）A．12B．8C．-8D．223．（2021·河北巨鹿中学高一月考）已知2a，向量a与向量b的夹角为120，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影向量为（）A．eB．3eC．3eD．e4．（2021·浙江绍兴·）已知向量3,1a，1,0b，则a在b方向上的投影是（）A．-1B．0C．1D．35．（2021·江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，向量a在b方向上的投影向量为（）A．(2，﹣2)B．(12，12)C．(25，15)D．(22，22)6．（2021·全国高二课时练习）若4a，2b，a和b的夹角为30，则a在b的方向上的投影向量的模长为（）A．2B．3C．23D．47．（2021·湖北）已知向量(0,23)a，(1,3)b，与b同向的单位向量为e，则向量a在b方向上的投影向量为（）A．3eB．3eC．3eD．3e题型三：模1．（2021·嘉峪关市第一中学高二期末（文））已知向量a，b的夹角为60°，1a，2b，则2ab（）A．1B．23C．7D．22．（2021·全国）已知e为单位向量，且2ae，3be，则|4|ab（）A．3B．5C．10D．143．（2021·梁河县第一中学高二月考）已知a＝4，b＝8，a与b的夹角为120°，则2ab＝（）A．83B．63C．53D．824．（2021·河西·天津实验中学）平面向量a与b的夹角为60°，(2,0),1ab，则2ab等于（）A．3B．23C．4D．125．（2021·海口中学高三月考）已知||2,||2,1abab，则||abrr（）A．6B．2C．22D．36．（2021·遵义市第三中学高一期中）已知向量a，b，满足0ab，1a，2b．则2ab（）A．4B．22C．6D．87．（2021·泾县中学高一月考）设向量i，j均为单位向量，且满足ij，则23ij（）A．13B．13C．4D．58．（2021·湖南）已知向量a，b的夹角为4，3,4a，10ab，则b（）A．22B．23C．33D．429．（2021·陕西汉中·高三月考（理））若单位向量,ab满足122abab，则abrr等于（）3A．1B．2C．3D．23310．（2021·酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测）已知向量,ab满足||||||1abab，则2ab（）A．3B．3C．7D．711．（2021·全国高三模拟预测（理））平面向量a与b的夹角为60，2a，(1,3)b，则|2|ab（）A．12B．23C．6D．612．（2021·西藏拉萨中学高三月考（文））已知平面向量a与b的夹角为30°，且(1,3),ab为单位向量，则|3|ab（）A．1B．13C．21D．72313．（2021·全国高三月考）已知平面向量a与b的夹角为60°，(2,0)a，1b||=，则2ab的值为（）A．2B．2C．4D．1214．（2021·威远中学校高一月考（文））已知a，b满足：3a，2b，4ab，则ab（）A．3B．5C．2D．10题型四：平行与垂直关系1．（2021·广东惠州·高一期中）已知向量1,1a，1,bt，且ab，则t（）A．2B．2C．1D．12．（2021·厦门市湖滨中学）已知向量2,1,2a，1,,1Ax，1,1,1B，若aAB，则实数x的值为（）A．5B．0C．1D．53．（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）已知向量(1,4)a，(2,)bm，若ab，则2abrr（）A．(5,20)B．(5,12)C．(5,5)D．()5,34．（2021·贵州凯里一中高二期末（文））若||1,aba，则(2)aba（）A．1B．1C．2D．25．（2021·全国高一课时练习）已知向量(1,2)a，(2,)btr，且//ab，那么t等于（）A．-4B．-1C．1D．46．（2021·四川射洪中学高三月考（文））已知(3,1),(2,)ab，若//ab，则实数的值为（）A．23B．32C．23D．327．（2021·湖南高二月考）向量4,2,6,aby，若//ab，则y（）A．3B．3C．12D．12题型五：夹角1．（2021·全国）,ab为平面向量，已知1,2,1,0ab，则,ab夹角的余弦值等于（）A．55B．55C．15D．1542．（2021·云南省南涧县第一中学高一月考）设向量3,4ar，11b,，则cos,ab（）A．210B．31010C．25D．1053．（2021·山西临汾·）设(3,1),(3,3)ab，则a与b的夹角为（）A．2B．3C．23D．344．（2021·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知(2,1),(1,3)ab，则,ab夹角的余弦值等于（）A．55B．5-5C．210D．2105．（2021·江苏江都·高一期中）已知向量(3,1)a，(2,23)b，则a与b的夹角为（）A．6B．56C．3D．346．（2021·山东菏泽·高一期末）设向量3,1a，,3bx，若barr，则ab与a的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．（2021·全国高三专题练习（文））已知非零向量,0,1,3tab，若4ab，则2ab与b的夹角为（）A．π3B．π2C．π6D．2π38．（2021·全国高三专题练习（理））设向量,4ax，1,bxr，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为（）A．(2,2)B．0,+C．0,22,+D．[2,2]9．（2021·嫩江市第一中学校高一期末）已知非零向量a，b满足 ||2||ba，且32abab，则a与b的夹角为（）A．45B．135C．80D．12010．（2021·河南南阳·高二期末（理））已知向量(1,2)AB，(2,)CDm，则“1m”是“,ABCD为钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5第27讲平面向量的数量积1、向量的数量积(内积)对于两个非零向量a与b，我们把数量||||cos,abab叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab，即||||cos,ababab。2、两个向量内积有如下重要性质(1)如果e是单位向量，则||cos,aeeaaae(0a)．(2)0abab(3)2||aaa或aaa(4)cos,||||ababab．(5)||||||abab题型一：平面向量数量积的定义1．（2021·江西景德镇一中高一期中（理））在ABC中，若0ACABuuuruuur，则此三角形为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【答案】A【详解】∵cos0ABACABACA，∴cos0A，∴A是钝角，则△ABC是钝角三角形.故选：A.2．（2021·北京东城·）若,ab都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．abB．1abC．//abD．abrr【答案】D【详解】方向相同大小相等的向量是相等向量，但是,ab不一定方向相同，故A错误；cos1abab，为,ab的夹角，因为0,，所以cos1,1，所以ab不一定等于1，故B错误；方向相同或者相反的向量是平行向量，但是,ab不一定方向相同或相反，故C错误；因为,ab都是单位向量，所以1,1ab，所以abrr，故D正确，故选：D.3．（2021·上海）下列等式正确的是（）A．00cB．()()abcabcC．00aD．00b【答案】D【详解】6对A，00c，故A错误；对B，由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；对C，00a，故C错误，对D，向量的数量积为数，故00b正确.故选：D.4．（2021·全国）下列命题正确的是（）A．||||||ababB．0||||0ababC．0||||0ababD．()cabcacb【答案】D【详解】解：对于A：cos,ababab，故A错误；对于B：由0ab可以得到||||0ab，但是由||||0ab得不到0ab，当ab时0ab，故B错误；对于C：若0ab则||||0ab或ab，故C错误；对于D：()c