2021湖南省三湘名校教育联盟高三上第二次大联考数学试卷原版答案解析版

第1页（共15页）2020-2021学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第二次大联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合2{|log1}Mxx，{|1}Nxx，则(MN)A．{|01}xxB．{|02}xxC．{|1}xxD．2．（5分）已知a，b是实数，复数zabi，若1biaii，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知双曲线2221(0)5xyaa的一个焦点为(3,0)，则其渐近线方程为()A．54yxB．45yxC．255yxD．52yx4．（5分）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若，mn，m，则nB．若，mn，//m，则//nC．若，m，n，则mnD．若，//m，//n，则mn5．（5分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量3(/)ymgm与时间()th成正比1(0)4t；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1()(4taya为常数，1)4t…，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到30.5(/)mgm以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前()分钟进行消毒工作A．25B．30C．45D．606．（5分）已知实数1a，1b，则4ab„是22loglog1ab„的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出第2页（共15页）此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是()A．168B．169C．170D．1718．（5分）已知函数2()(22)fxlnxx，设21(log)6af，121(log)5bf，0.3(2)cf，则()A．abcB．acbC．bacD．cab二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．（5分）已知向量a，b满足||1a，||2b，||3ab，则下列结论中正确的是()A．2abB．()aabC．||7abD．a与b的夹角为310．（5分）若样本1ax，2ax，，nax的平均值是5，方差是4，样本112x，212x，，12nx的平均值是9，标准差是s，则下列结论中正确的是()A．1aB．2aC．2sD．4s11．（5分）已知函数()sin()(0fxAxA，0，)2的部分图象如图所示，将函数()yfx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14倍，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移(0)个单位长度，得到函数()gx的图象，且()ygx的图象关于直线2x对称，则下列结论中正确的是()A．1B．3C．()3sin(44)3gxxD．的最小值为1212．（5分）设mR，过定点M的直线1:310lmxym与过定点N的直线2:310lxmym相交于点P，线段AB是圆22:(1)(1)4Cxy的一条动弦，且||22AB，则下列结论中正确的是()第3页（共15页）A．1l一定垂直2lB．||||PMPN的最大值为42C．点P的轨迹方程为22(2)(2)2xyD．||PAPB的最小值为22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）252()xx的展开式中5x的系数是．14．（5分）若函数()lnxfxx与()xagxeb的图象在1x处有相同的切线，则ab．15．（5分）已知抛物线28yx的焦点为F，准线与x轴交于点E，A是抛物线上一点，AEAF，则||AF．16．（5分）边长为23的正方形ABCD的顶点均在表面积为28的球O的球面上，1O为正方形ABCD的中心，△1OAB绕AB旋转，其顶点1O接触到球面时设为E，则二面角EABD的大小为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①()(sinsin)(sinsin)acACbAB；②2cos0cosbaAcC；③向量(,3)mcb与(cos,sin)nCB平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题．已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______．（1）求角C；（2）若ABC为锐角三角形，且4a，求ABC面积的取值范围．18．（12分）已知数列{}na满足1212222nnnnaaa．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设4141loglognnnbaa，求数列{}nb的前n项和nS．19．（12分）如图，等腰直角ABE与正方形ABCD所在平面互相垂直，AEBE，2AB，FC平面ABCD，//EF平面ABCD．（1）求FC的长；（2）求直线EF与平面BDF所成角的正弦值．第4页（共15页）20．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为12，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为25，第一局甲当裁判．（1）求第三局甲当裁判的概率；（2）设X表示前4局乙当裁判次数，求X的分布列和数学期望．21．（12分）已知椭圆2222:1xyab过点(2,0)C，(2,0)D，且离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）设E，F，P是椭圆上的三点，O为坐标原点，//OEPC，//OFPD，证明：OEF的面积为定值．22．（12分）已知函数()(1)1xfxaelnxlna．（1）若1a，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx有且仅有两个零点，求a的取值范围．第5页（共15页）2020-2021学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第二次大联考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】根据集合的基本运算关系即可得到结论．【解答】解：2{|log1}{|02}Mxxxx，{|1}Nxx，则{|01}MNxx，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．【分析】根据复数代数形式的运算法则，利用复数相等列方程求出a、b的值，再由共轭复数写出对应的结果．【解答】解：复数zabi，由1biaii，得(1)(1)aaibi，所以101aab，解得1a，2b，所以12zi，12zi，z在复平面内对应的点为(1,2)，位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了复数相等和共轭复数的概念应用问题，是基础题．3．【分析】利用双曲线的焦点坐标求解a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线2221(0)5xyaa的一个焦点为(3,0)，可得259a，2a，渐近线方程为52yx．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4．【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质及法向量的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：若，mn，m，则n或//n，故A错误；对于B：若，mn，//m，则//n或n，故B错误；对于C：若，m，n，直线m和n相当于平面和的法向量，则mn，故C正确；第6页（共15页）对于D：若，//m，//n，则mn或//mn，或m和n一般的相交，故D错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：线面的平行和垂直的判定和性质，法向量，主要考查学生对判定和性质的理解和应用，属于基础题．5．【分析】由题意求得函数解析式，求解空气中每立方米的含药量逐渐下降至0.5的时间t得答案．【解答】解：函数图象过点1(,1)4，分别代入函数(0)yktk和1()(4taya为常数，1)4t…，求得4k，14a，1414,04()11(),44tttyftt…，当104t时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至31(/)mgm；当14t…时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，取1411()()42tft，解得34t小时45分钟，学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作．故选：C．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查分段函数的应用，正确理解题意是关键，是中档题．6．【分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可．【解答】解：1a，1b，2log0a，2log0b，2abab…，4ab„，故4ab„，222222222logloglog()log4loglog()[]()1222ababab„„，反之，取16a，152b，则1522224logloglog16log215ab，但4ab，故4ab„是22loglog1ab„的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．【分析】设所求数列为{}na，由题意可得该数列为{}na为等差数列，且首项为15a，公差为12d，从而可求通项公式，结合已知22021na„„可求n的范围，进而可求．【解答】解：设所求数列为{}na，由题意可得该数列为5、17、29、41、，第7页（共15页）所以数列{}na为等差数列，且首项为15a，公差为12d，所以1(1)127naandn，令22021na„„，即21272021n„„，解得31694n„„，所以满足31694n„„的正整数n的个数为169，所以该数列共有169项．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，属于基础试题．8．【分析】求出原函数的单调性，再由对数的运算法则比较216log，1215log，0.32的大小，则答案可求．【解答】解：令222txx，其图象是开口向上的抛物线且恒大于0，对称轴方程为1x，且在(1,)上单调递增，由复合函数的单调性可得，()fx关于1x对称，且在(1,)上单调递增，213log26，1212log35，0.3122，acb，故选：B．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查对数值的大小比较，考查运算求解能力，是中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．【分析】利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解．【解答】解：222||21243abaabbab，1ab，()0aab，()aab，22||27abaabb，1cos,2||||ababab