高考必备公式结论方法细节六圆锥曲线的性质及应用

高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用一、必备公式1．椭圆有关知识：(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝，|F1F2|＝2c且(其中a0，c0，且a，c为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤≤a，－b≤≤b－b≤≤b，－a≤≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系2．双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝，|F1F2|＝2c且(其中a，c为常数且a0，c0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝y＝公众号：一只洛叔离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；a、b、c的关系(ca0，cb0)3．抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FF－p2，0FF0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2y＝－p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下4．重要公式(1)弦长公式：|AB|＝＝1＋1k2|y1－y2|；(2)韦达定理：x1＋x2＝，x1x2＝.二、必备结论1．轨迹类型：方程x2m＋y2n＝1，当m＝n0时表示；当mn0或nm0时表示；当时表示双曲线．2．椭圆结论：(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝、面积S△F1AF2＝；②△ABF2的周长为：C△ABF2＝；③通径：|AC|＝(椭圆、双曲线通用)；图1(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；②焦半径范围：≤|PF1|≤(长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近；④斜率：kPA1·kPA2＝.(3)点P(x0，y0)和椭圆的关系：图2①点P在椭圆内⇔x20a2＋y20b21.②点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.③点P在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.(4)椭圆扁平程度：因为e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2，所以e越大，椭圆越；e越小，椭圆越．3．双曲线结论：(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝；②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝；(2)渐近线求法结论：可直接令方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)等号右边的常数为，化简解得；图34．抛物线结论：如图4：抛物线y2＝2px(p0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝，|BF|＝|BC|＝(随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝＝(其中，α为直线AB的倾斜角)；③1|AF|＋1|BF|＝2p；(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝(随焦点动而变)；图4(3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)；②以AB为直径的圆必与相切于点H．三、必备方法1．直线与圆锥曲线相关问题：(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：①⇔有两个交点(相交)；②Δ＝0⇔有一个交点(相切)；③Δ＜0⇔没有交点(相离)．(2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝＝1＋1k2·|y1－y2|.(3)中点问题：法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线之间的关系.2．与角有关的关联性问题：①直角(垂直)⇔数量积a·b＝或斜率k1·k2＝或余弦定理cosθ＝0或点共；②锐角⇔a·b＞0或余弦定理cosθ＞；③钝角⇔a·b＜0或余弦定理cosθ＜；3．巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝，这样可避免对直线斜率存在性的讨论．4．巧设共渐近线双曲线：与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(λ≠0)．四、必备细节1．易混淆：①椭圆a2＝b2＋c2，而双曲线c2＝a2＋b2；②双曲线离心率e∈(1,＋∞)，而椭圆离心率e∈(0,1)．2．易忽视：①椭圆、双曲线的焦点位置；②抛物线为化成标准方程；③设直线未讨论斜率存在性；④解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式这一隐含条件．□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用一、必备公式1．椭圆有关知识：(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且ac(其中a0，c0，且a，c为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c22．双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c为常数且a0，c0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)3．抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下4．重要公式(1)弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|；(2)韦达定理：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.二、必备结论1．轨迹类型：方程x2m＋y2n＝1，当m＝n0时表示圆；当mn0或nm0时表示椭圆；当mn0时表示双曲线．2．椭圆结论：(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tanθ2；②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a；③通径：|AC|＝2b2a(椭圆、双曲线通用)；图1(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c(长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近；④斜率：kPA1·kPA2＝－b2a2.(3)点P(x0，y0)和椭圆的关系：图2①点P在椭圆内⇔x20a2＋y20b21.②点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.③点P在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.(4)椭圆扁平程度：因为e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．3．双曲线结论：(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；图34．抛物线结论：如图4：抛物线y2＝2px(p0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2＋p2(随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(其中，α为直线AB的倾斜角)；③1|AF|＋1|BF|＝2p；(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2(随焦点动而变)；图4(3)其他结论：①S△OAB＝p22sinα(其中，α为直线AB的倾斜角)；②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．三、必备方法1．直线与圆锥曲线相关问题：(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：①Δ＞0⇔有两个交点(相交)；②Δ＝0⇔有一个交点(相切)；③Δ＜0⇔没有交点(相离)．(2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系.2．与角有关的关联性问题：①直角(垂直)⇔数量积a·b＝0或斜率k1·k2＝－1或余弦定理cosθ＝0或点共圆；②锐角⇔a·b＞0或余弦定理cosθ＞0；③钝角⇔a·b＜0或余弦定理cosθ＜0；3．巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论．4．巧设共渐近线双曲线：与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．四、必备细节1．易混淆：①椭圆a2＝b2＋c2，而双曲线c2＝a2＋b2；②双曲线离心率e∈(1,＋∞)，而椭圆离心率e∈(0,1)．2．易忽视：①椭圆、双曲线的焦点位置；②抛物线为化成标准方程；③设直线未讨论斜率存在性；④解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式Δ≥0这一隐含条件．