2021常州市高考数学试卷一模A4答案分析解答

第1页（共21页）2021年江苏省常州市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知R为全集，集合{|22}Axx，{|3}Bxx，则()(RABð)A．{|23}xxB．{|23}xx„C．{|0xx或23}x„D．{|2xx„或23}x„2．（5分）设a，bR，则“|||1|abii”是“1ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知平面向量(3,1)mx，(,4)nx，且//mn，则下列正确的是()A．1xB．1x或4C．125xD．4x4．（5分）已知7log0.3a，0.30.7b，0.37c，则()A．abcB．acbC．cabD．bca5．（5分）过圆22:5Oxy外一点(2,5)P作圆O的切线，切点分别为A，B，则||(AB)A．2B．5C．453D．36．（5分）已知函数()2sinfxx，为了得到函数()2sin(2)3gxx的图象，只需()A．先将函数()fx图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6个单位B．先将函数()fx图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移6个单位C．先将函数()fx图象向右平移6个单位，再将点的横坐标变为原来的12D．先将函数()fx图象向右平移3个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍7．（5分）已知长方体1111ABCDABCD，动点P到直线AD的距离与到平面11BBCC的距离相等，则P在平面11CCDD上的轨迹是()A．线段B．椭圆一部分C．抛物线一部分D．双曲线一部分8．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”．北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、第2页（共21页）十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是()A．38B．58C．29D．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知P为ABC所在平面内一点，则下列正确的是()A．若320PAPBPC，则点P在ABC的中位线上B．若0PAPBPC，则P为ABC的重心C．若0ABAC，则ABC为锐角三角形D．若1233APABAC，则ABC与ABP的面积比为3:210．（5分）函数1()cos(0)2fxxxx的所有极值点从小到大排列成数列{}na，设nS是{}na的前n项和，则下列结论中正确的是()A．数列{}na为等差数列B．4176aC．20211sin2SD．373tan()3aa11．（5分）已知函数cos()sinxxfxex，则下列选项中正确的是()A．()fx在(0,)2上单调递减B．(2x，)时，()0fx恒成立C．(2，0)是函数()fx的一个单调递减区间D．x是函数()fx的一个极小值点12．（5分）已知曲线C上的点(,)Pxy满足方程|1||1|0xxyy，则下列结论中正确的是()A．当[1x，2]时，曲线C的长度为2222B．当[1x，2]时，12yx的最大值为1，最小值为12第3页（共21页）C．曲线C与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为142D．若平行于x轴的直线与曲线C交于A，B，C三个不同的点，其横坐标分别为1x，2x，3x，则123xxx的取值范围是32(2,)22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知一组数据3，2a，4，5a，1，9的平均数为3（其中)aR，则中位数为．14．（5分）232()xx展开式中的常数项为．15．（5分）已知函数2()xfxxee的导函数为()fx，则(0)f；若0023lnxx，则0()fx．16．（5分）已知ABC为等边三角形，PA底面ABC，三棱锥PABC外接球的表面积为4，则三棱锥PABC体积的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列{}na满足：114a，1312nnaa．（1）求证数列{2}na是等比数列；（2）若数列{}nb满足22nnnba，求{}nb的最大值．18．（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2sincosBbAb，23a．（1）求角A的大小；（2）若sin2sinCB，求ABC的面积．19．（12分）在矩形ABCD中，22BCAB，取BC边上一点M，将ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥SAMCD．（1）若M为BC的中点，二面角SAMB的大小为3，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若将ABM沿着AM折起后使得SDAM，求线段MC的长．20．（12分）调查某种新型作物A在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了300户农民进第4页（共21页）行了统计，发现当年收入水平提高的农户占1315，而当年选择耕种A作物的农户占23，既选择A作物又收入提高的农户为180户．（1）完成下面22列联表，并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关；种植A作物的数量未种植A作物的数量合计收入提高的数量收入未提高的数量合计附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，nabcd．（2）某农户决定在一个大棚内交替种植A，B，C三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植．开始时选择A作物种植，后因习惯，在每次种植A后会有13的可能性种植B，23的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为14，种植C的概率为34，在每次种植C的前提下再种植A的概率为25，种植B的概率为35．若仅种植三次，求种植A作物次数X的分布列及期望．21．（12分）已知1F，2F是椭圆22122:1(0)xyEabab的左、右焦点，曲线22:4Eyx的焦点恰好也是2F，O为坐标原点，过椭圆1E的左焦点1F作与x轴垂直的直线交椭圆于M，N，且2MNF的面积为3．（1）求椭圆1E的方程；（2）过2F作直线l交1E于A，B，交2E于C，D，且1ABF与OCD的面积相等，求直线l的斜率．22．（12分）已知函数()1fxaxlnx．（1）1a，求函数()fx的最大值；（2）若()()0fxfx„恒成立，求a的取值集合；（3）令()()1Fxfxax，过点0(Px，0)y做曲线()yFx的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内．第5页（共21页）2021年江苏省常州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知R为全集，集合{|22}Axx，{|3}Bxx，则()(RABð)A．{|23}xxB．{|23}xx„C．{|0xx或23}x„D．{|2xx„或23}x„【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：集合{|22}Axx，所以{|2RAxx„ð或2}x…，又集合{|3}Bxx，所以(){|2RABxx„ð或23}x„．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．（5分）设a，bR，则“|||1|abii”是“1ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由复数求模公式，再结合充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：①若|||1|abii，则222ab，222ab，当2a，0b时，222ab成立，但1ab不成立，②当1ab时，|||1|abii成立，综上所述：|||1|abii是1ab的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了复数的求模公式，充分必要条件，属简单题．3．（5分）已知平面向量(3,1)mx，(,4)nx，且//mn，则下列正确的是()A．1xB．1x或4C．125xD．4x【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：//mn，4(3)0xx，解得125x，故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第6页（共21页）4．（5分）已知7log0.3a，0.30.7b，0.37c，则()A．abcB．acbC．cabD．bca【分析】可根据对数函数和指数函数的单调性得出：0a，01b，1c，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：77log0.3log10，0.3000.70.71，0.30771，0a，01b，1c，abc．故选：A．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）过圆22:5Oxy外一点(2,5)P作圆O的切线，切点分别为A，B，则||(AB)A．2B．5C．453D．3【分析】根据题意，由切线长公式可得||||952PAPB，则点A、B在以P为圆心，半径为2的圆的圆上，求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB的方程，结合直线与圆的位置关系可得答案．【解答】解：根据题意，圆22:5Oxy的圆心为(0,0)，半径5r，若(2,5)P，则||453PO，圆22:5Oxy外一点(2,5)P作圆O的切线，切点分别为A，B，则||||952PAPB，故点A、B在以P为圆心，半径为2的圆的圆上，该圆的方程为22(2)(5)4xy，联立两个圆的方程：22225(2)(5)4xyxy，变形可得2550xy，则直线AB的方程为2550xy，圆O的圆心O到AB的距离55345d，则222545||22593ABrd，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质以及性质，属于基础题．6．（5分）已知函数()2sinfxx，为了得到函数()2sin(2)3gxx的图象，只需()A．先将函数()fx图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6个单位第7页（共21页）B．先将函数()fx图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移6个单位C．先将函数()fx图象向右平移6个单位，再将点的横坐标变为原来的12D．先将函数()fx图象向右平移3个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍【分析】根据函数sin()yAx的图象变换规律即可得解．【解答】解：将()2sinfxx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到的函数解析式为：()2sin2fxx；所有的点向右平移6个单位长度，再把所得得到的函数解析式为：()2sin(2)3fxx；故选：B．【点评】本题主要考查了函数sin()yAx的图象变换规律，属