备案2023新高考一轮总复习知识点分类39幂函数精讲解析版

3.9幂函数（精讲）思维导图常见考法考点一幂函数【例1】（1）（2021·北京人大附中高三）设11,,1,2,32则“fxx的图象经过1,1”是“fxx为奇函数”的（）A．充分不必要件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2021·浙江）设233344443,,332abc，则,,abc的大小关系是（）A．acbB．abcC．cbaD．bca【一隅三反】1．（2021·浙江）若幂函数223()22mmfxmmx在(0,)上是减函数，则实数m的值是（）A．1或3B．3C．1D．02．（2021·江西高三）已知函数1ayaxb是幂函数，直线20(0,0)mxnymn过点(,)ab，则11nm的取值范围是（）A．11,,333B．(1,3)C．1,33D．1,333．（2021·河南商丘市·高三月考）已知3.93.83.93.83.9,3.9,3.8,3.8abcd，则abcd,,,的大小关系为（）A．dcbaB．dbcaC．bdcaD．bcda4．（2021·上海高三二模）已知函数131()2021(1)20212xxfxxx，则不等式2(4)(23)4fxfx的解集为（）．A．[1,4]B．[4,1]C．(,1][4,)D．(,4][1,)考法二二次函数【例2】（1）（2021·南京市秦淮中学高三开学考试）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）f（1），则（）A．a0，4a＋b＝0B．a0，4a＋b＝0C．a0，2a＋b＝0D．a0，2a＋b＝0（2）（2021·全国高三专题练习）已知函数22(2)5yxax在区间(4,)上是增函数，则a的取值范围()A．2a„B．2a…C．6a…D．6a„（3）（2021·全国高三专题练习）已知二次函数2yaxbxc(a，b，c均为正数)过点1,1，值域为0,，则ac的最大值为______；实数满足1ba，则取值范围为_______.【一隅三反】1．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线yx相切，则满足上述条件的二次函数可以为()fx_______.2．（2021·浙江高三专题练习）若函数2()4fxxax在1.3内不单调，则实数a的取值范围是__________．3．（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数2223fxxxxaxb是偶函数，则fx的值域是__________.4．（2021·贵州省思南中学高三一模）若函数234yxx的定义域为[0,]m，值域为25[,4]4，则m的取值范围______.考法三二次函数最值的分类讨论【例3】（2021·全国高三专题练习）设2()44,[,1](),fxxxxtttR求函数()fx的最小值()gt的解析式.【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习）求二次函数2()22fxxax在2,4上的最小值.2．（2021·全国高三专题练习）已知函数224422fxxaxaa在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．3．（2021·全国高三专题练习）求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最大值和最小值．3.9幂函数（精讲）思维导图常见考法考点一幂函数【例1】（1）（2021·北京人大附中高三）设11,,1,2,32则“fxx的图象经过1,1”是“fxx为奇函数”的（）A．充分不必要件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2021·浙江）设233344443,,332abc，则,,abc的大小关系是（）A．acbB．abcC．cbaD．bca【答案】（1）C（2）C【解析】（1）由11,,1,2,32，由fxx的图像经过1,1，则的值为11,3，，此时fxx为奇函数.又当fxx为奇函数时，则的值为11,3，，此时fxx的图象经过1,1.所以“fxx的图象经过1,1”是“fxx为奇函数”的充要条件故选：C（2）因为函数43xy在R上是增函数，所以23344433，即ab，又因为函数34yx在(0,)上是增函数，所以33444332，所以bc，故abc.故选：C【一隅三反】1．（2021·浙江）若幂函数223()22mmfxmmx在(0,)上是减函数，则实数m的值是（）A．1或3B．3C．1D．0【答案】B【解析】因为幂函数223()22mmfxmmx在(0,)上是减函数，所以2222130mmmm，由2221mm，得1m或3m，当1m时，2311310mm，所以1m舍去，当3m时，2393330mm，所以3m，故选：B2．（2021·江西高三）已知函数1ayaxb是幂函数，直线20(0,0)mxnymn过点(,)ab，则11nm的取值范围是（）A．11,,333B．(1,3)C．1,33D．1,33【答案】D【解析】由1ayaxb是幂函数，知：1,1ab，又(,)ab在20mxny上，∴2mn，即20nm，则1341111nmmmm且02m，∴11(,3)13nm.故选：D.3．（2021·河南商丘市·高三月考）已知3.93.83.93.83.9,3.9,3.8,3.8abcd，则abcd,,,的大小关系为（）A．dcbaB．dbcaC．bdcaD．bcda【答案】B【解析】构造函数lnxfxx，则21lnxfxx，当,xe时，0fx，故lnxfxx在,xe上单调递减，所以3.9(3.8)ff，所以ln3.9ln3.83.93.8，3.8ln3.93.9ln3.8所以3.83.9ln3.9ln3.8，3.83.93.93.8，因为3.8yx在0,上单调递增，所以3.83.83.83.9，同理3.93.93.83.9，所以3.83.83.93.93.83.93.83.9，故选：B4．（2021·上海高三二模）已知函数131()2021(1)20212xxfxxx，则不等式2(4)(23)4fxfx的解集为（）．A．[1,4]B．[4,1]C．(,1][4,)D．(,4][1,)【答案】A【解析】设函数3()202120212xxgxxx，则函数()gx是定义域为R，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021xy是增函数，2021xy是减函数，3yx是增函数，所以3()202120212xxgxxx在R上单调递增；又3()202120212()xxgxxxgx，所以()gx是奇函数，其图象关于原点对称；又131()2021(1)202121)212xxfxxxgx（，即()fx的图象可由()gx向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以131()2021(1)202121)2xxfxxx（是定义域为R的增函数，且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4fxfx，即(2)4()fxfx．由2(4)(23)4fxfx得2(4)4(23)fxfx，即242(23)fxfx，即2(4)(3)fxfx，所以243xx，解得14x．故选：A．考法二二次函数【例2】（1）（2021·南京市秦淮中学高三开学考试）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）f（1），则（）A．a0，4a＋b＝0B．a0，4a＋b＝0C．a0，2a＋b＝0D．a0，2a＋b＝0（2）（2021·全国高三专题练习）已知函数22(2)5yxax在区间(4,)上是增函数，则a的取值范围()A．2a„B．2a…C．6a…D．6a„（3）（2021·全国高三专题练习）已知二次函数2yaxbxc(a，b，c均为正数)过点1,1，值域为0,，则ac的最大值为______；实数满足1ba，则取值范围为_______.【答案】（1）A（2）B（3）11622,【解析】（1）由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－2ba＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)f（1），f（4）f（1），∴f(x)先减后增，于是a0，故选：A.（2）函数22(2)5yxax的对称轴为：2xa，函数22(2)5yxax在区间(4,)上是增函数，24a„，解得2a…，故选：B．（3）因为二次函数2yaxbxc(a，b，c均为正数)过点1,1，1(0,0,0)bcaabc，开口向上且值域为0,，240bac，2abc，21bcaacca，2()1ac，1ac，12acac…，即12ac„，当且仅当14ac时等号成立.1,4ac即116ac，当且仅当14ac时等号成立，ac的最大值为116(当且仅当14ac时最大)，21(1)221abacaaaa，112222aaaa，22111acaab，即220aa，0aa，10,01aaaaa，01a，1222222aa…，当且仅当12aa时，即12a时，等号成立.又0a时，1a，22,，故答案为：116；22,【一隅三反】1．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线yx相切，则满足上述条件的二次函数可以为()fx_______.【答案】214x（答案不唯一）．【解析】因为二次函数()fx的图象关于y轴对称，所以可设2()fxaxc，由2yaxcyx得20axxc，所以140ac，即14ac．取1a，14c，则21()4fxx，（答案不唯一）．故答案为：214x（答案不唯一）．42．（2021·浙江高三专题练习）若函数2()4fxxax在1.3内不单调，则实数a的取值范围是__________．【答案】13(,)22【解析】由题意得2()4fxxax的对称轴为2xa，因为函数()fx在1.3内不单调，所以123a，得1322a．故答案为：13(,)22．3．（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数2223fxxxxaxb是偶函数，则fx的值域是__________.【答案】16,【解析】因为2222331fxxxxaxbxxxaxb是偶函数，所以有330110ffff，代入得：93