2021年3月湖北省十一校高考数学第二次联考试卷含解析版

第1页（共24页）2021年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1．（5分）已知(12)2zii，则复数(z)A．1B．iC．iD．2i2．（5分）已知(,)42，且4sin()45，则tan()A．7B．43C．17D．1253．（5分）已知等差数列{}na的第5项是61(2)xyx展开式中的常数项，则28(aa)A．20B．20C．40D．404．（5分）下列命题错误的是()A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．设2~(1,)N，且(0)0.2P，则(12)0.2PC．线性回归直线ˆˆˆybxa一定经过样本点的中心(x，)yD．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高5．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．8124B．8134C．24324D．243346．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1）{1AB，2，3，4}，AB；（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对(,)AB的个数为()A．1B．2C．4D．67．（5分）直线10xy经过椭圆22221(0)xyabab的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若2FCAC，则该椭圆的离心率是()A．1022B．312C．222D．218．（5分）已知函数23,1()1,1lnxxfxxx…，若mn，且()()4fmfn，则mn的最小值是()A．2B．1eC．433lnD．332ln二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的第2页（共24页）得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球．下面几个命题中正确的是()A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是2449D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是71110．（5分）设函数()sin()cos()(0fxxx，||)2„的最小正周期为，且过点(0,2)，则下列正确的为()A．4B．()fx在(0,)2单调递减C．(||)fx的周期为D．把函数()fx的图像向左平移2个长度单位得到的函数()gx的解析式为()2cos2gxx11．（5分）正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点．则()A．直线1DD与直线AF垂直B．直线1AG与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92D．点1A和点D到平面AEF的距离相等12．（5分）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点(,0)Aa，(,0)Ba距离之积等于2(0)aa的点的轨迹C是“曲线”．若点0(Px，0)y是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有()A．曲线C关于原点O中心对称第3页（共24页）B．0x的取值范围是[a，]aC．曲线C上有且仅有一个点P满足||||PAPBD．22POa的最大值为22a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知单位向量a，b满足|||2|abab，则a与b的夹角为．14．（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为．15．（5分）写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程为．16．（5分）已知不等式2(2)[(1)1]0axlnxxax…对任意0x恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD．（1）求cosADB；（2）若22DC，求BC．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，2AB，2BC，4ABC，四边形ACEF为矩形，平面ACEF平面ABCD，1AF，点M在线段EF上运动．（1）当AEDM时，求点M的位置；（2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知数列{}na，11a，121(*)nnaannN．第4页（共24页）（1）求{}na的通项公式；（2）数列{}nb满足11nnnbaa，nS为数列{}nb的前n项和，是否存在正整数m，(1)kmk，使得24kmSS？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中|164|m．小明改进了高尔顿板（如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有13的概率向左，23的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中2(4).n两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．21．（12分）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点(0,1)F的距离比到x轴的距离大1．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线4yx上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标．第5页（共24页）22．（12分）已知函数2()xaxbfxe在2x时取到极大值24e．（1）求实数a、b的值；（2）用{minm，)n表示m，n中的最小值，设函数(){()gxminfx，1}(0)xxx，若函数2()()hxgxtx为增函数，求实数t的取值范围．第6页（共24页）2021年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1．（5分）已知(12)2zii，则复数(z)A．1B．iC．iD．2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：(12)2zii，2(2)(12)12(12)(12)iiiziiii，zi，故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（5分）已知(,)42，且4sin()45，则tan()A．7B．43C．17D．125【分析】先判断4的取值范围，再由同角三角函数的关系求出tan()4的值，而()44，然后根据两角差的正切公式，得解．【解答】解：(,)42，(42，3)4，4sin()45，3cos()45，4tan()43，41tan()tan344tantan[()]74441tan()tan1()1443．故选：A．【点评】本题考查两角和差的正切公式，同角三角函数的关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．（5分）已知等差数列{}na的第5项是61(2)xyx展开式中的常数项，则28(aa)A．20B．20C．40D．40【分析】由题意根据乘方的意义求出5a，再利用等差数列的性质，求得28aa的值．【解答】解：61(2)xyx表示6个因式1(2)xyx的乘积，故当有3个因式取x，其余的3个因式取1x时，可得它的常数项为3363520CCa，第7页（共24页）等差数列{}na的第5项是61(2)xyx展开式中的常数项，则285240aaa，故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质，乘方的意义，属于中档题．4．（5分）下列命题错误的是()A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．设2~(1,)N，且(0)0.2P，则(12)0.2PC．线性回归直线ˆˆˆybxa一定经过样本点的中心(x，)yD．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高【分析】由相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；回归直线方程的性质判断C；残差的性质判断D；即可得到结果．【解答】解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；设2~(1,)N，且(0)0.2P，则(12)0.3P，故B不正确；线性回归直线ˆˆˆybxa一定经过样本点的中心(x，)y，故C正确．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高，故D正确；故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，相关关系的应用，考查学生对教材基础知识的理解与记忆，是基础题．5．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．8124B．8134C．24324D．24334【分析】画出图形，判断D的位置，然后求解几何体的体积即可．【解答】解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形，2113813sin60992224AB，球心为O，三角形ABC的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：2393332OC，226(33)3OO，则三棱锥DABC高的最大值为：369，则三棱锥DABC体积的最大值为：813124339434．故选：D．第8页（共24页）【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1）{1AB，2，3，4}，AB；（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对(,)AB的个数为()A．1B．2C．4D．6【分析】结合已知分类讨论：讨论A，B中集合的元素个数分别进行求解．【解答】解：若A中只有1个元素，则B中有3个元素，则1A，3B，即3A，1B