2021年高一上学期数学人教A版2019必修第一册第一章集合与常用逻辑用语培优测试卷答案试题解析

第1页，共4页人教版（2019）必修第一册第一章集合于常用逻辑用语培优测试卷学校:_________姓名：_________班级：_________考号：_________题号一二三四总分得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥≤1}，𝐵={−1,0，2，3}，则(∁𝑅𝐴)∩𝐵=()A.{2}B.{2,3}C.{0,1,2}D.{|𝑥𝑥−1}2.如图所示，I是全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(𝑀∩𝑃)∩𝑆B.(𝑀∩𝑃)∪𝑆C.(𝑀∩𝑃)∩(∁𝐼𝑆)D.(𝑀∩𝑃)∪(∁𝐼𝑆)3.已知命题𝑝:∃𝑥0∈𝑅，使𝑥02+2𝑥0+𝑎=0(𝑎∈𝑅)，则使得p为真命题的一个充分不必要条件是()A.𝑎−2B.𝑎2C.𝑎≤1D.𝑎04.设S为实数集R的非空子集．若对任意x，𝑦∈𝑆，都有𝑥+𝑦，𝑥−𝑦，xy∈𝑆，则称S为封闭集．下列命题中的真命题是()A.集合𝑆={𝑎+𝑏√3|𝑎,𝑏为整数}为封闭集；B.若S为封闭集，则一定有0∈𝑆；C.封闭集一定是无限集；D.若S为封闭集，则满足𝑆⊆𝑇⊆𝑅的任意集合T也是封闭集．5.若𝑥∈𝐴，则1𝑥∈𝐴,就称A是伙伴关系集合，集合𝑀={−1,0,14,13,1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A.15B.16C.32D.256第2页，共4页6.若集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2−2𝑥=0，𝑦∈𝑅}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦2=2𝑥}，则𝐴∩𝐵中元素的个数为()A.1B.2C.3D.47.已知𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅，若集合{𝑎,𝑏𝑎,1}={𝑎2,𝑎+𝑏,0}，则𝑎2019+𝑏2020=()A.−2B.−1C.1D.28.对于集合22,,Maaxyxy==−ZZ，给出如下三个结论：①如果21,Pbbnn==+Z，那么PM；②如果42,cnn=+Z，那么cM；③如果1aM，2aM，那么12aaM.其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设集合𝑀={𝑥|𝑎𝑥3+𝑎}，𝑁={𝑥|𝑥2或𝑥4}，则下列结论中正确的是()A.若𝑎−1，则𝑀⊆𝑁B.若𝑎4，则𝑀⊆𝑁C.若𝑀∪𝑁=R，则1𝑎2D.若𝑀∩𝑁≠⌀，则1𝑎210.设非空集合P，Q满足𝑃∩𝑄=𝑄，且𝑃≠𝑄，则下列选项中错误的是()A.∀𝑥∈𝑄，有𝑥∈𝑃B.∃𝑥∈𝑃，使得𝑥∉𝑄C.∃𝑥∈𝑄，使得𝑥∉𝑃D.∀𝑥∉𝑄，有𝑥∉𝑃11.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足𝑀∪𝑁=𝑄，𝑀∩𝑁=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(𝑀,𝑁)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A.𝑀={𝑥|𝑥0},𝑁={𝑥|𝑥0}是一个戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素第3页，共4页12.设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：（1）0A，1A；（2）对任意x、yAÎ，都有xyA+，xyA−，xyA，()0xAyy，则称A为一个数域，则下列命题中为真命题的是（）A.有理数集Q是一个数域；B.若A为一个数域，则QA；C.若A、B都是数域，那么AB也是一个数域；D.若A、B都是数域，那么AB也是一个数域，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合2(2)210Axkxkx=+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的个数是______.14.定义一种集合运算𝐴⊗𝐵={𝑥|𝑥∈(𝐴∪𝐵)，且𝑥∉(𝐴∩𝐵)}，设𝑀={𝑥||𝑥|2}，𝑁={𝑥|𝑥2−4𝑥+30}，则𝑀⊗𝑁=15.已知集合𝐵={𝑥|𝑥=𝑏2−13,𝑏∈𝑍}，𝐶={𝑥|𝑥=𝑐2+16,𝑐∈𝑍}，则B，C之间的关系是．16.给定数集M，若对于任意,abM，有abM+?，且abM−，则称集合M为闭集合，则下列说法：①集合{4,2,0,2,4}M=−−为闭集合②集合{|3,}MnnkkZ==为闭集合③正整数集*N是闭集合④若集合12,AA为闭集合，则12AA为闭集合其中不正确的是____________四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0}.，集合𝐵={𝑥|𝑥2+(2𝑎+1)𝑥+(𝑎2−5)=0}(𝑎∈𝑅).(1)若𝐴∩𝐵={1}，求实数a的值；(2)若𝐴∪𝐵=𝐴，求实数a的取值范围．18.求证：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0有一正根和一负根的充要条件是𝑎𝑐0．19.已知集合𝐴={𝑥∈R|𝑥−52𝑥𝑥−2}，集合𝐵={𝑥|2𝑚+3≤𝑥≤𝑚+1}．(1)若𝐵⊆𝐴，求实数m的取值范围；(2)试判断是否存在𝑚∈R，使得，并说明理由．第4页，共4页20.已知集合𝐴={𝑥|2−𝑎≤𝑥≤2+𝑎}，或．(1)当𝑎=3时，求𝐴⋂𝐵;(2)若“𝑥∈𝐴”是“𝑥∈∁𝑅𝐵”的充分不必要条件，且𝐴≠⌀，求实数a的取值范围．21.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0}，𝐵={𝑥|𝑥2−𝑎𝑥+(𝑎−1)=0}，𝐶={𝑥|𝑥2−𝑏𝑥+2=0}，问是否存在实数𝑎,𝑏同时满足𝐵⫋𝐴，𝐴⋂𝐶=𝐶?若存在，求出𝑎,𝑏的所有值；若不存在，请说明理由．22.设非空集合A中的元素都是实数，且满足：若𝑚∈𝐴(𝑚≠0,𝑚≠1)，则11−𝑚∈𝐴．(1)若−1∈𝐴，求出A中的另外两个元素；(2)给出命题“A中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；(3)若A中的元素个数不超过7个，所有元素之和为7112，所有元素的积恰好等于A中某个元素的平方，求集合A．第1页，共10页人教版（2019）必修第一册第一章集合于常用逻辑用语培优测试卷学校:_________姓名：_________班级：_________考号：_________题号一二三四总分得分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥≤1}，𝐵={−1,0，2，3}，则(∁𝑅𝐴)∩𝐵=()A.{2}B.{2,3}C.{0,1,2}D.{|𝑥𝑥−1}答案：B解析：因为集合𝐴={𝑥|𝑥≤1}，所以∁𝑅𝐴={𝑥|𝑥1}又𝐵={−1,0，2，3}，所以(∁𝑅𝐴)∩𝐵={2,3}故选B．2.如图所示，I是全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(𝑀∩𝑃)∩𝑆B.(𝑀∩𝑃)∪𝑆C.(𝑀∩𝑃)∩(∁𝐼𝑆)D.(𝑀∩𝑃)∪(∁𝐼𝑆)答案：C解析：由已知的Venn图可得：阴影部分的元素属于M，属于P，但不属于S，故阴影部分表示的集合为(𝑀∩𝑃)∩(∁𝐼𝑆)，故选C．3.已知命题𝑝:∃𝑥0∈𝑅，使𝑥02+2𝑥0+𝑎=0(𝑎∈𝑅)，则使得p为真命题的一个充分不必要条件是()A.𝑎−2B.𝑎2C.𝑎≤1D.𝑎0答案：D解析：若命题p为真命题，则𝑥2+2𝑥+𝑎=0在实数范围内有解，第2页，共10页可得𝛥=4−4𝑎≥0，即𝑎≤1，为充要条件，所以分析各选项，p为真命题的一个充分不必要条件是𝑎0．故选D．4.设S为实数集R的非空子集．若对任意x，𝑦∈𝑆，都有𝑥+𝑦，𝑥−𝑦，xy∈𝑆，则称S为封闭集．下列命题中的真命题是()A.集合𝑆={𝑎+𝑏√3|𝑎,𝑏为整数}为封闭集；B.若S为封闭集，则一定有0∈𝑆；C.封闭集一定是无限集；D.若S为封闭集，则满足𝑆⊆𝑇⊆𝑅的任意集合T也是封闭集．答案：A解析：设𝑥=𝑎+𝑏√3，𝑦=𝑐+𝑑√3，(𝑎,b，c，d为整数)，则𝑥+𝑦∈𝑆，𝑥−𝑦∈𝑆，𝑥𝑦=(𝑎𝑐+3𝑏𝑑)+(𝑏𝑐+𝑎𝑑)√3∈𝑆，S为封闭集，A正确；当S为封闭集时，集合S中不一定含0，B不正确；对于集合𝑆={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，C错误；取𝑆={0}，𝑇={0,1}，满足𝑆⊆𝑇⊆𝑅，但由于0−1=−1不属于T，故T不是封闭集，D错误．故选A．5.若𝑥∈𝐴，则1𝑥∈𝐴,就称A是伙伴关系集合，集合𝑀={−1,0,14,13,1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A.15B.16C.32D.256答案：A解析：具有伙伴关系的元素构成的集合{−1}，{1}，{14、4}，{13、3}共4个，其中任取1个，2个，3个，4个的并集构成满足题意的集合，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数为：24−1=15，故选A．6.若集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2−2𝑥=0，𝑦∈𝑅}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦2=2𝑥}，则𝐴∩𝐵中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案：C解析：∵集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥2−2𝑥=0，𝑦∈𝑅}，∴𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥=0或𝑥=2，𝑦∈𝑅}，第3页，共10页又∵𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦2=2𝑥}，所以𝐴∩𝐵={(0,0)，(2,2)，(2,−2)}，故选C．7.已知𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅，若集合{𝑎,𝑏𝑎,1}={𝑎2,𝑎+𝑏,0}，则𝑎2019+𝑏2020=()A.−2B.−1C.1D.2答案：B解析：∵{𝑎,𝑏𝑎,1}={𝑎2,𝑎+𝑏,0}，又𝑎≠0，∴𝑏𝑎=0⇒𝑏=0，∴{𝑎,0,1}={𝑎2,𝑎,0}，𝑎2=1⇒𝑎=±1，当𝑎=1,𝑏=0时，{𝑎,𝑏𝑎,1}={1,0,1}，不符合集合元素的互异性，故舍去；当𝑎=−1,𝑏=0时，{−1,0,1}={1,−1,0}，符合题意．∴𝑎2019+𝑏2020=−1．故选B．8.对于集合22,,Maaxyxy==−ZZ，给出如下三个结论：①如果21,Pbbnn==+Z，那么PM；②如果42,cnn=+Z，那么cM；③如果1aM，2aM，那么12aaM.其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3答案：D解析：集合22{|Maaxy==−，xZ，}yZ，对于①，21bn=+，nZ，则恒有2221(1)nnn+=+−，21nM+，即{|21Pbbn==+，}nZ，则PM，①正确；对于②，42cn=+，nZ，若42nM+?，则存在x，yZ使得2242xyn-=+，42()()nxyxy+=+−，又xy+和xy−同奇或同偶，若xy+和xy−都是奇数，则()()xyxy+−为奇数，而42n+是偶数；若xy+和xy−都是偶数，则()()xyxy+−能被4整除，而42n+不能被4整除，42nM+，即cM，②正确；第4页，共10页对于③，1aM，2aM，可设22111axy=−，22222axy=−