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2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高三（上）学情检测热身数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知非零向量，，那么“、的夹角为钝角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，，则A∩（∁UB）＝（）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，1）∪（2，+∞）3．已知x＞0，y＞0，且，则y的最大值为（）A．1B．C．2D．4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx5．九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为f（n），an＝f（n+1）+f（n），研究发现{an+1}是等比数列，已知f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝5，则a7＝（）A．127B．128C．255D．2566．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，若函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为xi（i＝1，2，3，…，n），当时，＝（）A．6B．8C．10D．128．已知实数m，n满足（m+5）2+n2＝1，则对于任意实数a，（a2﹣m）2+（a﹣n）2的最小值为（）A．4B．16C．17D．25二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．若函数f（x）＝sin|x|﹣cos2x，则（）A．f（x）是周期函数B．f（x）在[﹣π，π]上有4个零点C．f（x）在（0，）上是增函数D．f（x）的最小值为﹣110．已知P为双曲线﹣y2＝1上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是（）A．∠APB＝B．k1k2＝﹣C．mn＝D．|AB|≥11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（）A．f（x）的展开式中的常数项是56B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位12．已知数列{an}满足：an+1an＝1+an，a1＝1，设bn＝lnan（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（）（ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．数列{a2n﹣1}单调递增，数列{a2n}单调递减B．bn+bn+1≤ln3C．S2020＞693D．b2n﹣1＞b2n三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（x﹣1）（2x+1）10的展开式中x10的系数为．14．已知，则sin2α＝．15．如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为．16．已知函数f（x）＝x3+mx+n，对任意的x∈[﹣2，2]，使得|f（x）|≤2，则m+n＝．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在①数列{an}为递增的等比数列，S3＝7，且3a2是a1+3和a3+4的等差中项，②Sn＝2n﹣1，n∈N*这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．已知数列{an}的前n项和为Sn，____，bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在实数k，使得Tn＜k恒成立？18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S＝（a2+b2﹣c2）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若边长c＝2，求△ABC的周长的取值范围．19．某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为A，B两块试验田（假设A，B两块试验田地质情况一致），10月10日在A试验田播种该新品种小麦，10月20日在B试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：g），按照[20，30），[30，40），[40，50]进行分组，得到如下表格．其中千粒重不低于40g的小麦视为饱满，否则为不饱满．[20，30）[30，40）[40，50]A试验田/份479B试验田/份7103（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；10月10日播种10月20日播种合计饱满不饱满合计（2）从A，B两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；（3）用样本估计总体，从A试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记饱满的小麦份数为X，求数学期望E（X）．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.82820．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若O1O2＝2，∠PAB＝45°，求二面角A﹣PO1﹣B的余弦值．21．已知点B（﹣2，0），C（2，0），△ABC的周长等于4+4，点M满足＝2．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）是否存在过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，与圆F：（x﹣）2+y2＝交于R，S两点（其中点R在线段PQ上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝xex﹣2ax+a（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣2，2]上的最值；（2）设g（x）＝2ex﹣ax2，若h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知非零向量，，那么“、的夹角为钝角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：①当、的夹角为钝角时，则•＝||•||cos＜，＞＜0，∴充分性成立，②当＜，＞＝π时，满足•＜0，但不满足、的夹角为钝角，∴必要性不成立，∴、的夹角为，钝角是•＜0的充分不必要条件，故选：A．2．设U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，，则A∩（∁UB）＝（）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（0，1）∪（2，+∞）解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，又＝{x|x（x+1）≤0且x+1≠0}＝{x|﹣1＜x≤0}，所以∁UB＝{x|x≤﹣1或x＞0}，则A∩（∁UB）＝{x|x≤﹣1或0＜x＜1或x＞2}．故选：D．3．已知x＞0，y＞0，且，则y的最大值为（）A．1B．C．2D．解：∵，∴，又∵x＞0，∴，当且仅当x＝1时，等号成立，∵y＞0，∴3y2+2y﹣1≤0，解得，故y的最大值为．故选：D．4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．5．九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为f（n），an＝f（n+1）+f（n），研究发现{an+1}是等比数列，已知f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝5，则a7＝（）A．127B．128C．255D．256解：因为an＝f（n+1）+f（n），f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝5，所以a1＝f（2）+f（1）＝3，a2＝f（3）+f（2）＝7，则，所以数列{an+1}是首项为4，公比为2的等比数列，则，所以，则．故选：C．6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（）A．B．C．D．解：设O为正八棱锥S﹣ABCDEFGH底面内切圆的圆心，连接OA，OB，取AB的中点M，连接SM、OM，则OM是底面内切圆半径R，如图所示：设侧棱长为x，底面边长为a，由题意知∠ASB＝2θ，∠ASM＝θ，则sinθ＝，解得a＝2xsinθ；由底面为正八边形，其内切圆半径OM是底面中心O到各边的距离，△AOB中，∠AOB＝45°，所以∠AOM＝22.5°，由tan45°＝＝1，解得tan22.5°＝﹣1，所以＝＝tan22.5°＝﹣1，所以＝﹣1，解得＝，即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为．故选：A．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，若函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为xi（i＝1，2，3，…，n），当时，＝（）A．6B．8C．10D．12解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），故图象关于x＝1对称，∴﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），故f（2+x）＝﹣f（x），∴f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即周期为4，又因为当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点即为f（x）＝k（x﹣2）的交点，因为时，对应图象如图，故共有5个零点，一个为2，另两对都关于（2，0）对称，∴＝2+2×2+2×2＝10，故选：C．8．已知实数m，n满足（m+5）2+n2＝1，则对于任意实数a，（a2﹣m）2+（a﹣n）2的最小值为（）A．4B．16C．17D．25解：点（m，n）在以（﹣5，0）为圆心，以1为半径的圆上，（a2﹣m）2+（a﹣n）2的几何意义为点B（a2，a）到点A（m，n）的距离的平方，又点