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2021-2022学年江苏省南京市中华中学高三（上）暑期学情调研数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．设，则|z|＝（）A．0B．1C．D．33．已知向量＝（3，1），＝（m，m+2），＝（m，3），若∥，则•＝（）A．﹣12B．﹣6C．6D．34．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则“S1、S2不总相等”是“V1，V2不相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．若sin（α+）＝且α∈（﹣，），则cosα的值为（）A．B．C．D．6．若函数f（x）＝x3﹣3bx+2在区间（2，3）内单调递增，则实数b的取值范围是（）A．b≤4B．b＜4C．b≥4D．b＞47．若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．8．已知奇函数y＝f（x）（x∈R）满足：对一切x∈R，f（1+x）＝f（1﹣x）且x∈[0，1]时，f（x）＝ex﹣1，则f（2020）＝（）A．1B．1﹣eC．0D．e﹣1二、多项选择题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知a＞0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则下列不等式可能正确的是（）A．（b﹣1）（b﹣a）＞0B．（a﹣1）（a﹣b）＞0C．（a﹣1）（b﹣1）＜0D．（a﹣1）（b﹣a）＞010．函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．2π是f（x）的一个周期B．f（x）在[0，2π]上有3个零点C．f（x）的最大值为D．f（x）在上是增函数12．关于函数f（x）＝+lnx，下列判断正确的是（）A．x＝2是f（x）的极大值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx成立D．对两个不相等的正实数x1，x2，若f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＞+ln4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∃x0＞1，x02+x0≤2”，命题的否定是．14．已知（kx﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5＝244，则实数k的值为．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题．书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”．请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第天相逢？（天数取整数）16．已知函数f（x）＝2lnx﹣1，g（x）＝a|x﹣m|，若存在实数a＞0使y＝f（x）﹣g（x）在（，e）上有2个零点，则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．c＝1，△ABC的面积S＝．在下面两个条件中选择一个条件，求△ABC的周长．条件①：b＝2；条件②：C＝．18．正项等差数列{an}中，已知a1+a2+a3＝15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（Ⅰ）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（Ⅱ）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635，其中n＝a+b+c+d．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝，△PAD为等边三角形．（1）求证：PB⊥AD；（2）求二面角D﹣PA﹣C的正弦值．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax．（1）讨论函数f（x）的导函数f′（x）的单调性；（2）若对∀x1，x2∈（1，e），都有＜3，求a的取值范围；（3）若方程f′（x）＝a有两个不同的解，求a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点P（1，），焦距为4．经过椭圆E的左焦点F的直线l与椭圆E相交于A、B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）当直线l经过椭圆E的上顶点时，求△AOB的面积；（3）若经过点F作l的垂线，并与直线x＝3相交于点P．当∠APB最大时，求直线l的方程．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．2．解：∵＝，∴|z|＝1．故选：B．3．解：由，得3m+6﹣m＝0，解得m＝﹣3，所以，，则．故选：C．4．解：夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，由祖暅原理得：“S1、S2不总相等”推导不出“V1，V2不相等”，“V1，V2不相等”⇒“S1、S2不总相等”，∴则“S1、S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要而不充分条件．故选：B．5．解：sin（α+）＝且α∈（﹣，），∴cos（α+）＝＝，则cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝+＝，故选：D．6．解：f（x）＝x3﹣3bx+2，则f（x）′＝3x2﹣3b，因为函数f（x）在区间（2，3）内单调递增，所以导函数f′（x）在区间（2，3）内大于等于0恒成立，即∀x∈（2，3），x2﹣b≥0恒成立，又x∈（2，3）时，x2∈（4，9），所以b≤4．故选：A．7．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：＝，解得：，可得e2＝4，即e＝2．故选：A．8．解：根据题意，对任意t∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数y＝f（x）为奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于原点对称，则有f（x+2）＝f[1+（x+1）]＝f[1﹣（x+1）]＝f（﹣x），故f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数y＝f（x）为周期为4的周期函数，则f（2020）＝f（0），又由x∈[0，1]时，f（x）＝ex﹣1，则f（2020）＝f（0）＝e0﹣1，故选：C．二、多项选择题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．解：由logab＞1⇒logab﹣1＞0，即logab﹣logaa＞0，∴loga＞loga1，当a＞1时，则有＞1，即b＞a＞1，此时b﹣1＞0，b﹣a＞0，a﹣1＞0，a﹣b＜0，则（b﹣1）（b﹣a）＞0，（a﹣1）（a﹣b）＜0，（a﹣1）（b﹣1）＞0，（a﹣1）（b﹣a）＞0，当1＞a＞0时，则有＜1，即1＞a＞b＞0．此时b﹣1＜0，b﹣a＜0，a﹣1＜0，a﹣b＞0则（b﹣1）（b﹣a）＞0，（a﹣1）（a﹣b）＜0，（a﹣1）（b﹣1）＞0，（a﹣1）（b﹣a）＞0．故选：AD．10．解：当a＝0时，f（x）＝，则选项C符合；当a＞0，f（0）＝0，故排除D；当x＞0时，f（x）＝≤，当且仅当x＝时取等号，则函数f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠±}，当x＞0，f（x）＝，由于y＝x+在（0，），（，+∞）为增函数，则f（x）＝在（0，），（，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．11．解：∵y＝sinx的周期为2π，y＝的周期为π，∴的周期为2π，故A正确；由＝0，得sinx+sinxcosx＝0，得sinx＝0或cosx＝﹣1，∵x∈[0，2π]，∴x＝0，x＝π，x＝2π，则f（x）在[0，2π]上有3个零点，故B正确；函数的最大值在[0，]上取得，由f′（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1＝0，可得cosx＝，当x∈（0，）时，cosx单调递减，原函数单调递增，当x∈（，）时，cosx单调递减，原函数单调递减，则当x＝时，原函数求得最大值为sin+＝，故C正确；∵f（）＝sin+＝＞1，f（）＝sin＝1，∴f（x）在上不是增函数，故D错误．故选：ABC．12．解：对于A：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝﹣+＝，所以在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调性递减，在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝2是f（x）的极小值点，即A不正确；对于B：y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，所以y′＝﹣+﹣1＝＜0，函数y在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1＝2+ln1﹣1＝1＞0，f（2）﹣2＝1+ln2﹣2＝ln2﹣1＜0，所以函数y＝f（x）﹣x有且仅有1个零点，故B正确；对于C：若f（x）＞kx，可得k＜+，令g（x）＝+，则g′（x）＝，令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，所以在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，在（1，+∞）上，函数h（x）单调递减，所以h（x）≤h（1）＜0，所以g′（x）＜0，所以g（x）＝+在（0，+∞）上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对于D：令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）＝+ln（2+t）﹣﹣ln（2﹣t）＝+ln，则g′（t）＝+•＝+＝＜0，所以g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，则x1＝x2＝2﹣t+2+t＝4，当x2≥4时，x1+x2＞4成立，对任意两个正实数x