佛山一中2021第一学期高二级期中考试数学试题含答案及答题卡

佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第1页，共4页佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题数学命题人：程生根黄玲玲2021年11月本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上。不按以上要求作答的答案无效。第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．直线l的一个方向向量为2,1,1l，平面的一个法向量为4,2,2n，则（）A．//lB．lC．//l或lD．l与的位置关系不能判断2．直线1l：310axy，2l：2110xay，若12//ll，则a（）A．－3或2B．3或－2C．－3D．23.已知向量3,0,1a，k,2,0b，若a与b夹角为23，则k的值为（）A．2B．2C．－1D．14.有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“A”的概率为（）A．152B.827C.413D.17525.长方体1111ABCDABCD中，13,4ABBCAA，则异面直线1AB与1DA所成角的余弦值为()A．1625B．45C．925D．356.过点2,3M作圆224xy的两条切线，设切点分别为A、B，则直线AB的方程为（）A．220xyB．2340xyC．2340xyD．3260xy佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第2页，共4页7．如图所示，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，M为OA中点，点N在BC上，且2BNNC，则MN等于（）A．211322abcB．112233abcC．121233abcD．152233abc8．已知圆的方程为222440xyxy，设该圆过点2,3M的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）A．6B．65C．67D．611二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．空间直角坐标系中，设坐标原点为O，定点A、B、C坐标分别是(3,0,0)、(0,2,0)、(0,0,1)，则有()A．四面体OABC的体积为1B．ABC是锐角三角形C．(3,2,1)n是平面ABC的一个法向量D．若点D的坐标为（3，－2，1），则D平面ABC10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数。若用x表示红色骰子的点数，若用y表示绿色骰子的点数，用(,)xy表示一次试验的结果，定义事件：A=“xy为奇数”,B=“xy”，C=“4x”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=3P(B)B．A与B互斥C．A与B独立D．B与C独立11．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点E是线段1CD(含端点）上的动点，则下列结论正确的是（）A．存在点E，使1BEACB．异面直线1BE与AD所成的角最小值为4C．无论点E在线段1CD的什么位置，都有11ACBED．无论点E在线段1CD的什么位置，都有11//BEABD平面佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第3页，共4页12．以下四个命题中为真命题的是（）A．圆2220xyx关于直线10xy对称的圆方程为224240xyxyB．圆224xy上有且仅有2个点到直线l：20xy的距离都等于1C．曲线1C：2220xyx与曲线2C：22480xyxym恰有三条公切线，则4mD．已知圆C：223xy，点P为直线34100xy上一动点，过点P向圆C引切线PA，A为切点，则|PA|的最小值为1.第二部分非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点（－1，3）且与直线20xyc垂直的直线方程为________．14．已知向量2,1,3a，1,1,bx，若a与b垂直，则2ab___________.15．某校高二级学生会主席团共有5名成员，其中女生比男生多。现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为35，则抽到2名女生的概率为.16．已知两定点1,0A，1,2B，M是圆O：223xy上的动点．则（1）MA的最大值为__________.（2）3MAMB的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本题10分）已知直线1l的方程为240xy，若2l在x轴上的截距为12，且12ll.（1）求直线1l和2l的交点坐标；（2）已知直线3l经过1l与2l的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求3l的方程.18．（本题12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点．（1）设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；（2）若PA底面ABCD，且2PAAD，求四面体ABEP的体积．佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试试题第4页，共4页19．（本题12分）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息，箭靶区域环外黑环蓝环红环黄圈区域颜色白色黑色蓝色红色黄色环数1-2环3-4环5环6环7环8环9环10环甲成绩(频数)0012363624乙成绩(频数)01246113612用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响.（1）估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率；（2）甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率；（3）甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率.20．（本题12分）如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD//BC，F为AD中点，E在BC上，且//EFAB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起（如图乙），使平面CDFE⊥平面ABEF.（1）求证：//AD平面BCE；（2）求证：平面ABC⊥平面BCE；21．（本题12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60,90DABADP，平面ADP平面ABCD，点F为棱PD的中点．（1）求证：ACPB；（2）若PB与平面ABCD所成角为3，求二面角DFCB的余弦值．22．（本题12分）已知圆C过点A(2,6)，且与直线l1:x+y－10=0相切于点B(6,4).(1)求圆C的方程；(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点，若△CMN为直角三角形，求直线l2的方程；(3)在直线l3:y=x－2上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E,F,使△QEF为正三角形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.答案第1页，共6页佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试数学答案一、选择题123456789101112BCACABBCABDABDACDCD二、填空题13.210xy14.2615.31016.3+1,2511．对于A，当点E与点1D重合时，11BDBD，ACBD，∴11BDAC，即1BEAC，故A正确；对于B，∵11ADBC∥，异面直线1BE与AD所成的角即为异面直线1BE与11BC所成的角，根据最小角定理，11BC与1BE所成角的最小值即为11BC与平面11BCD所成角，由三余弦定理可得11coscoscos30CBC，即63cos，故B不正确；对于C，∵1AC平面11BCD，∴11ACBE，故C正确；对于D，易知平面11//BCD平面1ABD，1BE平面11BCD，所以11//BEABD平面，故D正确.12．对于A，圆2220xyx关于直线10xy对称的圆方程为222440xyxy，所以A不正确；对于B，由圆224xy，可得圆心坐标为(0,0)C，半径为2r=，则圆心C到直线:20lxy的距离为22211(1)d，所以圆C上有且仅有3个点到直线l的距离都等于1，所以B不正确；对于C，由圆22120C:xyx，可得圆心坐标为1(1,0)C，半径为11r，由圆222480C:xyxym，可得圆心坐标为2(2,4)C，半径为220rm，可得圆心距125CC，要使得圆1C与2C恰有三条公切线，则1205m且200m，解得4m，所以C正确；对于D中，因为2223PAPCrPC=-=-，min2210234PC==+，答案第2页，共6页所以2min231PA=-=，故D正确.16．解：（1）由题意1MO，圆半径为3，所以max31MA；（2）取3,0K，∵3OMOA，3OKOM，MOKMOA，∴MOKAOM△△，∴3MKMA，可得3MKMA，∴3MAMBMKMB，直线KB方程为3213yx，即230xy，原点O到直线KB距离为220033351(2)d，直线KB与圆O相交，所以,,KMB共线时，minmin3MAMBMKMB22(13)225KB．三、解答题17．(本题10分)解：（1）由直线1l的方程为240xy且12ll，可得直线2l的斜率为2，……1分又2l在x轴上的截距为12，即过点1,02……2分所以直线2l方程：122yx即210xy，……3分联立1l方程，得：6210524075xxyxyy，故交点为67,55.……5分（2）当直线3l过原点时，3l方程为：76yx，……6分当直线3l不过原点时，设3l方程为12xyaa，……7分则1910a，故3l方程为：10511919xy，即105190xy，……9分综上所述：3l的方程为76yx或105190xy.……10分答案第3页，共6页18．(本题12分)解：（1）证明：连结,EFAF.因为底面ABCD为矩形，所以//ABCD.……1分又AB平面PCD，且CD平面PCD，所以//AB平面PCD.……3分又ABÌ平面ABE，且平面ABE平面PCDEF，所以//ABEF.……4分又因为//ABCD，所以//.CDEF……5分因为E为PC的中点，所以F为PD的中点.……6分（2）PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，又BCAB，BC平面PAB.……8分取PB中点H，连EH，E是PC中点，//EHBC，即1EH且EH平面PAB，……10分又RtPAB的面积122SPAAB.……11分四面体ABEP的体积1233EPABVVSEH.……12分19.(本题12分)解：（1）设A=“甲运动员一箭命中10环”，B=“乙运动员一箭命中黄圈”……1分（A）=241723，P（B）=12362723，……3分（2）设C=“乙运动员一箭命中10环”，D=“有人命中10环”，则121()726PC，……4分法一：DAC,1()3PA，1()6PC,又A、C独立，……6分11114()()()()()36369PDPACPAPCPAC；……8分法二：DACACAC