山东师范大学附属中学2019高三上学期开学考试数学试题及答案

1山东师大附中2019级高三开学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分为150分,考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合228xMxZ,Nxxa,若有且仅有1个元素,则实数a的取值范围是A.B.C.D.2.命题“任意2,20xZxxm”的否定是A.存在2,20xZxxmB.不存在2,20xZxxmC.对任意2,20xZxxmD.对任意2,20xZxxm3.已知复数151izi,则复数z的虚部为A.2B.2C.2iD.2i4.已知215sin42fxxx,fx为fx的导函数,则fx的图象是25.甲乙两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹.共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如下表：甲小组根据表中数据,直接对,yx作线性回归分析,得到：回归方程为ˆ0.59930.005yx,相关指数20.4472R；乙小组先将数据依变换2ux,2vy进行整理,再对,vu作线性回归分析,得到：回归方程为ˆ0.50060.4922vu,相关指数20.9375R根据统计学知识,下列方程中最有可能是该粒子运动轨迹方程的是A.0.59930.0050xyB.0.50060.49220xyC.220.500610.49220.4922xyD.220.500610.49220.4922xy6.已知函数fx满足2fxfx,当1,2,lnxfxx,若在区间1,4内,函数0gxfxaxa有两个不同零点,则实数a的取值范围是A.ln20,4B.ln21,42eC.ln21,4eD.ln2ln2,427.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC满足2AB,90ACB,PA为球O的直径且4PA,则点P到底面ABC的距离为A.2B.22C.3D.238.设实数0m,若对任意的xe,不等式2ln0mxxxme恒成立,则m的最大值是A.1eB.3eC.eD.2e二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）9.将曲线1:sinCyx上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移6个单位长度,得到曲线2:Cyfx,则下列结论正确的是x-0.93-0.82-0.77-0.61-0.55-0.33-0.270.100.420.580.640.670.76y-0.26-0.41-0.450.45-0.60-0.67-0.68-0.710.640.550.550.530.463A.sin26fxxB.6fxfxC.fx在0,上有2个零点D.fx在,312上单调递增10.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是A.2张卡片不都是红色B.2张卡片恰有一张红色C.2张卡片至少有一张红色D.2张卡片都为绿色11.过抛物线24yx的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是A.以线段AB为直径的圆与直线12x相交B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当2AFFB时,92ABD.AB的最小值为412.如图,在正方体1111ABCDABCD中,点P在线段1BC上运动,则下列结论正确的是A.直线1BD平面DCA11B.三棱锥11DACP的体积为定值C.异面直线AP与1AD所成角的取值范围是30,90D.直线PC1与平面DCA11所成角的正弦值的最大值为63第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13.在622xx的展开式中,3x的系数是____________.14.数列na满足110,2nnaaan,则2021a_________.15.已知函数2123,021,0xxxxfxx,则不等式2234fxfxx的解集为_______.16.如图,ABC中点,DE是线段BC上两个动点,且ADAExAByAC,则9xyxy的最小值为________.四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）417.(10分)设数列na满足113,23nnnaaanN.（1）求数列na的通项公式;（2）令nnbna,求数列nb的前n项和nS.18.(12分)在锐角ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,且2cos2bCac.（1）求角B;（2）求sinsinAC的取值范围.19.(12分)一个盒子内装有6张卡片,每张卡片上面写着1个数字,这6个数字各不相同,且奇数有3个,偶数有3个.每张卡片被取出的概率相等.（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片,并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数,求所得新数是奇数的概率;（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的数是偶数,则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了次才停止取出卡片,求的分布列和数学期望.20.(12分)已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,且PAa,底面ABCD是边长为b的菱形,60ABC.（1）求证：平面PBD平面PAC;（2）设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角OPMD的正切值是26,求:ab的值.21.(12分)已知椭圆2222:10xyCabab，离心率为12，短轴长为23.12,AA为椭圆的左右顶点，P为椭圆上任一点（不同于12,AA），直线12,APAP分别与直线:4lx交于,MN两点.（1）求椭圆C的标准方程;（2）若F为椭圆右焦点，试判断FMFN是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.22.(12分)已知函数21()2xfxexax（Ra）.（1）若函数fx在R上是增函数,求实数a的取值范围;（2）如果函数212gxfxax恰有两个不同的极值点12,xx,证明：12ln22xxa.OADBCPM开学考答案1.C；2.A；3.A；4.A；5.C；6.A；7.D；8.C；9.BCD；10.BD；11.ACD；12.ABD；13.160；14.2020；15.,31,U；16.8；17.解：（1）123nnnaa1123nnnaa21223nnnaaM2123aa12116312323233331nnnnaaL3nna，经检验，13a也满足（2）3nnnbnan1213233nnSnL23133233nnSnL2+123333nnnSnL+1+133313nnn121334nnnS18.解：（1）方法一：使用余弦定理2222cos2222abcbCacbacab222222bcaacbacac由余弦定理得：2222cosbacacB1cos23BB方法二：使用正弦定理2cos22sincosC2sinAsinCbCacB2sincos2sinsinsin2sincosBCBCCCCB1cos23BB（2）2233ACCA223131sinsinsincossinsincossin32222AAAAAAAA31cos211sin2sin244264AAAABCQV为锐角三角形,,0,2ABC02262032AAA52,666A1sin2,162A13sinsin,24AC19解：设A为“所得新数为奇数”11332635CCPAC（2）可取的值为1,2,3,4311=62P33326510P3233365420P3211465420P的分布列为：1234P1231032012013317123421020204E20.解：法一（1）PAQ平面ABCD，BD平面ABCDPABD因为ABCD为菱形，所以ACBD又因为ACPAAI，所以BD平面PAC因为BD平面PBD平面PBD平面PACT（2）过O作OTPM交PM于T，连接DT因为OD平面PAC，所以由三垂线定理可得DTPM，所以OTD是OPMD的平面角又33,,244bbODbOMAM，且OTAPOMPM，从而222249169+16ababOTabab223169tan262ODabOTDbOTab3:4ab法二：（1）过O作OTPA∥，PAQ平面ABCDOT平面ABCD因为ABCD为菱形，所以OCOD以,,OTOCOD为轴建立空间直角坐标系，33,0,0,,0,0,0,,0,0,,0,,0,22222bbbbbACBDPa，,0,04bM（1）设平面PBD的法向量为,,mxyzur3,,,0,3,022bbPBaBDbuuruuurQ23002230xbbxyazybbyza2,0,bmaur设平面PAC的法向量为,,nxyzr因为平面PAC即为xOz平面0,1,0nr0mnurr平面PBD平面PAC（2）平面OPM的一个法向量为10,1,0nur设平面PMD的法向量为2,,nxyzuur33,,,,,02242bbbbPDaMDuuuruuurQOADBCPM32302213033422bbxxyazybbxybza23323,1,2bnauur设二面角OPMD的平面角为，则tan26，可得1cos5122211coscos,527134nnbauruur222222792513416baaab3:4ab21.解：（1）12cea223b2243，ab椭圆方程为：22143xy（2）由（1）可得：122,0,2,0AA,设00,Pxy，设11:2APykx，联立方程124ykxx解得：14,6Mk同理：设22:2APykx，联立方程124ykxx可得：24,