202109广东省梅州市蕉岭中学2023届高二入学测试数学试题卷参考答案

第1页，总6页蕉岭中学2023届高二入学测试（数学）试题本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时长：120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若86iiz−=−，则||z=（）A．6B．8C．10D．122．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从中抽取10人参加一项活动，则抽取的男生的人数为（）A．5B．6C．7D．83．在等边ABC中，点E在中线CD上，且6CEED=，则AE=（）A．1377ACAB+B．13377ACAB−C．3177ACAB+D．31377ACAB−4．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是（）A．若l∥m，l⊥，则m⊥B．若l∥m，l∥，则m∥C．若l∥，m⊥，则l⊥mD．若,lm⊥，则l⊥m5．在ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2coscoscoscosaABbAaA+=，则ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．.等腰直角三角形D．等腰或直角三角形6．一次物理测验中，同学们得分的频率分布直方图如图所示，则此次测验中物理得分的90%分位数是（）A．85B．90C．86D．807．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了第2页，总6页一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（）A．1:2:3B．1:2:3C．1:2:3D．2:3:68．现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A事件“第一次取出的球的数字是3”，B事件“第二次取出的球的数字是2”，C事件“两次取出的球的数字之和是7”，D事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A．A与C相互独立B．A与D相互独立C．B与D相互独立D．C与D相互独立二、多选题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图.根据该图数据，这7次人口普查中（）第3页，总6页A．乡村人口数均高于城镇人口数B．乡村人口数达到最高峰是第3次C．城镇人口总数逐次增加D．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次10．下列结论正确的是（）A．若复数z满足0zz+=，则z为纯虚数B．若复数1z，2z满足1212zzzz+=−，则120zz=C．若复数z满足1Rz，则zRD．若复数z满足3i1z−=，则||[2,4]z11．在ABC中，2,sin2sinABBA==，则（）A．当3C=时，233BC=B．ABC不可能是直角三角形C．A的最大值为3D．ABC面积的最大值为4312．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（）A．DP与D1Q所成角的最大值为4B．四面体ABPQ的体积不变C．△AA1Q的面积有最小值255D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.13．已知向量(1,2),(,6)abx=−=−，且23,2ABabBCab=+=+，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_________.14．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2243cb=，sinsin393AC=，则A=______.15．为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，广东省于2019年采用“3+1+2”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成．在选择物第4页，总6页理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为__________；现有选择物理的2名学生，他们选择专业的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为__________．16．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角MABD−−的余弦值为_______________；平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为___________.三、解答题，本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．（1）设，，用，表示，；（2）已知ED⊥EF，求证：．18．（12分）如图，在正三棱柱111ABCABC−（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16ACCC==，M是棱1CC的中点.（1）求证：平面1ABM⊥平面11ABBA；（2）求1AM与平面1ABM所成角的正弦值.（注：本题要求使用几何法证明求解，使用空间向量法得分不超过一半。）第5页，总6页19．（12分）我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20．（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，且πsinsin33aBbAb=−+.（1）求角A的大小；（2）若3a=，求边BC的中线AD长度的最小值.第6页，总6页21．（12分）如图1，已知ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2所示.（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为212.22．（12分）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中3ABa=，2B=，33BCa=.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（AMN和'AMN△）.现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A落在边BC上且不与端点B，C重合.（1）设AMN=，若3=，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，AN的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.第7页，总6页蕉岭中学2023届高二入学测试（数学）试题参考答案1-8．CBABDAAA9．CD10．CD11．AD12．BCD13．314．5615．23；8916．63388.解：根据题意得()16PA=，()16PB=，()61366PC==，()536PD=，所以()()()136PACPAPC==，()()()136PADPAPD=，()()()136PBDPBPD=，()()()0PCDPCPD=，所以A与C相互独立.故选：A11．解：在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由sin2sinBA=，可得2ba=，又2222coscababC=+−，当3C=时，224422cos3aaaa=+−，解得233a=；当3C=时，2343,33ab==，满足222bac=+，ABC为直角三角形，B错误；222313cos2822bcaaAbca+−==+，当且仅当233a=时等号成立，所以A的最大值为6，C错误；2222254cos24abcaCaba+−−==，设ABCSS=，()222222242421154sin(2)sin1cos1244aSabCaaCaCaa−===−=−()242219201694016161699aaa=−+−=−−+，当2209a=时，S取最大值，且最大值为43.12．解：对于选项A，由题意以A1为坐标原点，A1B1、A1A、A1D1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A1(0，0，0)，D(0，2，2)，D1(0，2，0)，A(0，0，2)，B(2，0，2)，C(2，2，2)，则P(2，1，2)，设Q(x0，y0，0)，则AP=(2，1，0)，1DQ=(x0，y0－2，0)，第8页，总6页由AP⊥1DQ，可得10APDQ=，即2x0+y0－2=0，对于选项A，由DP=(2，－1，0)，可得()001220022cos52xyDPDQxy+−=+−，，()002200044455552xxxxx===+−，为定值，所以选项A错误；对于选项B，四面体ABPQ的体积111122123323ABPQQABPABPVVSAA−−====，为定值，即体积不变，所以选项B正确；对于选项C，因为AA1⊥A1Q，且A1Q=2200xy+，所以()122221100001122222AAQSAAAQxyxx==+=+−=2200044584555xxx−+=−+，因为002x，，所以142555AAQS=，C正确；对于选项D，如图，因为点Q满足2x0+y0－2=0，即点Q在直线2x0+y0－2=0上运动，取A1B1的中点为E，即点Q在D1E上，因为点P到D1E的距离为2，E(1，0，0)，1DE=(1，－2，0)，21125DE=+=，111252PDEESD==，则平面D1PQ截正方体所得截面为1FEDG，其中12CGGD=，112BFFB=，所以，1EFGD且1EFGD=，又由P为中点，,BFCGPBPC==，90BC==，所以，PEF和1PGD全等，所以，PFPG=，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FEDG，该四边形的面积为2△D1PE，则截面面积为2△D1PE=115122222PDESDE==，则截面面积为定值，所以选项D正确.第9页，总6页14、【详解】因为sinsin393AC=，所以由正弦定理得，393ac=，即393ac=.又2243cb=，则23bc=，从而2222439339cos423cccAc+−==−.又(0,)A，故56A=.故答案为：5615．【详解】设选择物理、化学、生物的概率为p，因为物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，所以12pp+=，解得23p=.即选择物理、化学、生物的概率为23p=；因为至少有1人选择物理、化学、生物的组合的对立事件为2名学生都没有选择物理、化学、生物组合，所以2名学生都没有选择物理、化学、生物组合的概率为1133，所以至少有1人选择物理、化学、生物的概率为1181339P=−=,故答案为：23；8916．【详解】将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示正四面体ABCD的棱长为1，则正方体的棱长为22，取AB中点N，连接,MNDN，则二面角MABD−−的平面角为MNC，且MNC为Rt，2222213222NCMNMC=+=+=，262cos332MNMNCNC===；由图可得，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，且球心为线段MN中点，设球半径为R，则222222622222R=++=，平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为226348R==第10页，总6页三、解答题17．解：（1）因为AE＝2BE，则，所以，＝；5分（2）证明：因为ED⊥EF，所以，即（）＝，即|，所