2021北京海淀初三上期中数学试题详细解答

1/212021北京海淀初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）方程2610xx−−=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A．1，6−，1−B．1，6，1C．0，6−，1D．0，6，1−2．（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是()A．B．C．D．3．（2分）将抛物线212yx=向下平移1个单位长度，得到的抛物线是()A．2112yx=−B．2112yx=+C．21(1)2yx=−D．21(1)2yx=+4．（2分）用配方法解方程2230xx+−=，下列配方结果正确的是()A．2(1)2x−=B．2(1)4x−=C．2(1)2x+=D．2(1)4x+=5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若50ABC=，则BDC的度数为()A．90B．100C．130D．1406．（2分）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP旋转，得到△111MNP，则旋转中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D2/217．（2分）已知抛物线2yaxbxc=++，其中0ab，0c，下列说法正确的是()A．该抛物线经过原点B．该抛物线的对称轴在y轴左侧C．该抛物线的顶点可能在第一象限D．该抛物线与x轴必有公共点8．（2分）如图，在ABC中，90C=，5AC=，10BC=．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是()A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若点(5,5)A与点B关于原点对称，则点B的坐标为．10．（2分）若点(0,)a，(3,)b都在二次函数2(1)yx=−的图象上，则a与b的大小关系是：ab（填“”，“”或“=”)．11．（2分）如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形ABCD，使得点B落在边AD上，此时DB的长为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxbxc=++的对称轴为直线2x=，与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程20axbxc++=的解为．13．（2分）如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF．若9AB=，则EF的长为．3/2114．（2分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．15．（2分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出4ABcm=，1CDcm=，则轮子的半径为cm．16．（2分）已知1(Mx，1)y，2(Nx，2)y为抛物线2(0)yaxa=上任意两点，其中120xx．若对于211xx−=，都有21||1yy−，则a的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：289xx−=．18．（5分）如图，ABC是等边三角形，点D在边AC上，以CD为边作等边CDE，连接BD，AE．求证：BDAE=．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数2yxpxq=++的图象经过点(0,2)A−，(2,0)B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数(0)ykxbk=+的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式2kxbxpxq+++的解集．20．（5分）如图，A，B是O上的两点，C是AB的中点．求证：AB=．4/2121．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．求作：ABC，使得点C在直线l上方，且150ACB=．作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③在劣弧AB上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在优弧AB上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．OAOBAB==，OAB是等边三角形．60AOB=．A，B，M在O上，1(2AMBAOB=)（填推理的依据）．30AMB=．四边形ACBM内接于O，180(AMBACB+=)（填推理的依据）．150ACB=．22．（6分）已知关于x的一元二次方程22210xaxa−+−=．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．23．（6分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；5/21（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．（5分）关于x的一元二次方程20xbxc++=经过适当变形，可以写成()()()xmxnpmn−−=的形式．现列表探究2430xx−−=的变形：变形mnp(1)(5)2xx+−=−1−52−(4)3xx−=043(1)()6xxt−−=1t62(2)7x−=227回答下列问题：（1）表格中t的值为；（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为；（3）记20xbxc++=的两个变形为111()()xmxnp−−=和22212()()()xmxnppp−−=，则1212nnmm−−的值为．25．（6分）如图，AB为O的直径，弦CD与AB交于点E，75C=，45D=．（1）求AEC的度数；（2）若12AC=，求CD的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22(0)yaxbxa=++经过点(1,1)A−，与y轴交于点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）点(,)Pmn是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．①若2N=，求抛物线的表达式；②若92a−−，结合函数图象，直接写出N的取值范围．27．（7分）如图，已知(090)MON=，OP是MON的平分线，A，B分别在OP，OM上，且//ABON．以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得180BAD=−．（1）①依题意补全图；②求证：OCODAD=+；（2）连接CD，若CDOD=，求的度数，并直接写出ADOD的值．6/2128．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P，x轴正半轴上存在点Q，使//PPQQ，且12==（如图1)，则称点P与点Q为−关联点．（1）在点1(3,1)Q，2(5,2)Q中，与(1,3)为45−关联点的是；（2）如图2，(6,4)M，(8,4)N，(Pm，8)(1)m．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45−关联点，结合图象，求m的取值范围；（3）已知点(1,8)A，(Bn，6)(1)n．若线段AB上至少存在一对30−关联点，直接写出n的取值范围．7/21参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．【解答】解：方程2610xx−−=，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，6−，1−．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：20(axbxca++=，b，c是常数且0)a特别要注意0a的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．【分析】一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．【解答】解：将抛物线212yx=向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：2112yx=−，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．4．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：2230xx+−=223xx+=22113xx++=+2(1)4x+=故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得90ACB=，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解A，再根据圆内接四边形的性质即可得解．【解答】解：AB是半圆O的直径，90ACB=．8/21又50ABC=，40A=，四边形ABDC为圆O的内接四边形，180ABDC+=，140BDC=，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．6．【分析】根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．【解答】解：线段1NN，线段1PP的垂直平分线的交点为点B，故点B为旋转中心．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．7．【分析】根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案．【解答】解：抛物线2yaxbxc=++，0c，抛物线不会经过原点，故A错误；0ab，a、b异号，抛物线在y轴的右侧，故B错误；顶点可能在第一象限，也可能在第四象限，故C正确；当0a，0b时，0c，顶点在第一象限，此时抛物线与x轴没有交点，故D错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．8．【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．9/21【解答】解：由题意得，AMt=，2CNt=，5MCACAMt=−=−，即5yt=−，2152SMCCNtt==−，因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，故选：D．【点评】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义