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第1页（共17页）2021年山东省济宁市高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则（∁UA）∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（1，2）D．（1，3）2．（5分）已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（）A．55B．1C．2D．53．（5分）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.85．（5分）已知椭圆C：�24+�23=1，过点P（1，12）的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（）A．3x﹣2y﹣2＝0B．3x+2y﹣4＝0C．3x+4y﹣5＝0D．3x﹣4y﹣1＝06．（5分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点M（3，﹣1）和点N（0，1）．若点P在∠MON的角平分线上，且|��→|＝4，则��→•��→=（）A．﹣2B．﹣6C．2D．67．（5分）已知函数f（x）=−1+2���，�＞11−2���，0＜�≤1，若f（a）＝f（b），则a+b的最小值是（）A．2�B．eC．1+eD．2e8．（5分）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的曼哈顿距离为：LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（1，2），点Q为圆C：x2+y2＝4上一动点，则LPQ的最大值为（）A．1+2B．1+22C．3+2D．3+22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）已知a＞b＞0，c∈R，下列不等式恒成立的有（）A．（13）a＜（13）bB．ac2＞bc2第2页（共17页）C．log21�＞log21�D．（�+�2）2＜�2+�2210．（5分）函数f（x）＝2cos（2x−�6）+1（x∈R），则下列说法正确的是（）A．若f（x1）＝f（x2）＝3，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）B．函数f（x）在[−�6，�3]上为增函数C．函数f（x）的图象关于点（�3，1）对称D．函数f（x）的图象可以由g（x）＝2sin（2x−�3）+1（x∈R）的图象向左平移�12个单位长度得到11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则下列说法正确的是（）A．f（x）是以4为周期的周期函数B．f（2018）+f（2021）＝﹣2C．函数y＝log2（x+1）的图象与函数f（x）的图象有且仅有3个交点D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+1812．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AB＝AA1=12AD＝1，∠BAD＝60°，点P是半圆弧�1�1 上的动点（不包括端点），点Q是半圆弧�� 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A．四面体PBCQ的体积是定值B．��→⋅�1�→的取值范围是（0，4）C．若C1Q与平面ABCD所成的角为θ，则tan�＞12D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[4π，13π）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（x−2�）n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是．14．（5分）已知tan（�4−�）=12，则cos2α＝．第3页（共17页）15．（5分）设双曲线�2�2−�2�2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N．若以MN为直径的圆经过点F2且|MF2|＝|NF2|，则双曲线的离心率为．16．（5分）设函数f（x）＝ex﹣cosx﹣2a，g（x）＝x，若存在x1，x2∈[0，π]使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2﹣x1的最小值为1时，实数a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC；②2asinC＝ctanA；③2cos2�+�2=cos2A+1；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2，___．（1）求A的值；（2）若sinB=2sinC，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝（﹣1）nlog2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制．约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛相互独立．（1）求甲获胜的概率；（2）设比赛结束时甲和乙共进行了X局比赛，求随机变量X的分布列及数学期望．20．（12分）如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，AF=6．（1）证明：平面ADF⊥平面BCF；（2）求二面角F﹣AD﹣E的余弦值．21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点T（0，p）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两点，l2交抛物线C于E、F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为12．（1）求抛物线C的标准方程；第4页（共17页）（2）已知O为坐标原点，线段AB的中点为M，线段EF的中点为N，求△OMN面积的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x，g（x）＝（1﹣a）xlnx﹣ex﹣1，a＞0．（1）当a=�2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）≥g（x）+x恒成立，求实数a的取值范围．第5页（共17页）2021年山东省济宁市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则（∁UA）∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（1，2）D．（1，3）【解答】解：因为B＝{x|log2（x﹣1）＜1}＝{x|1＜x＜3}，又集合A＝{x|x≥2}，全集U＝R，所以（∁UA＝{x|x＜2}，所以（∁UA）∩B＝（1，2）．故选：C．2．（5分）已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（）A．55B．1C．2D．5【解答】解：由已知可得：z=�2−�=�(2+�)(2−�)(2+�)=−1+2�5，所以|z|=(−15)2+(25)2=55，故选：A．3．（5分）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，σ2），P（X≤0）＝0.2，∴P（0≤X≤1）＝0.5﹣0.2＝0.3，∴P（1≤X≤2）＝P（0≤X≤1）＝0.3．所以P（X＜2）＝0.5+0.3＝0.8．第6页（共17页）故选：D．5．（5分）已知椭圆C：�24+�23=1，过点P（1，12）的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（）A．3x﹣2y﹣2＝0B．3x+2y﹣4＝0C．3x+4y﹣5＝0D．3x﹣4y﹣1＝0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则3x12+4y12＝12，3x22+4y22＝12，∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0．∵P（1，1）恰为线段AB的中点，即有x1+x2＝2，y1+y2＝1，∴3（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）＝0，∴直线AB的斜率为k=�1−�2�1−�2=−32，∴直线AB的方程为y−12=−32（x﹣1），即3x+2y﹣4＝0．由于P在椭圆内，故成立．故选：B．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点M（3，﹣1）和点N（0，1）．若点P在∠MON的角平分线上，且|��→|＝4，则��→•��→=（）A．﹣2B．﹣6C．2D．6【解答】解：点M（3，﹣1）可知OM与x轴正方向所角为30°，如图点M（3，﹣1）和点N（0，1）那么ON＝1，MO＝2，余弦定理可得∠MON＝120°，点P在∠MON的角平分线上，且|��→|＝4，那么∠MOP＝∠NOP＝60°，可得P的坐标为（23，2），第7页（共17页）∴��→•��→=（23，2）•（−3，2）＝﹣6+4＝﹣2；故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=−1+2���，�＞11−2���，0＜�≤1，若f（a）＝f（b），则a+b的最小值是（）A．2�B．eC．1+eD．2e【解答】解：∵函数f（x）=−1+2���，�＞11−2���，0＜�≤1，设b＞1≥a＞0，由f（a）＝f（b）可得﹣1+2lnb＝1﹣2lna，即lna+lnb＝1，即ab＝e，∴a+b＝a+��≥2�⋅��=2�，当且仅当a=�时，等号成立，但0＜a≤1时，即y＝a+��在（0，1]上单调递减，故y＝a+��在（0，1]上的最小值为：1+�1=1+e，故选：C．8．（5分）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的曼哈顿距离为：LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（1，2），点Q为圆C：x2+y2＝4上一动点，则LPQ的最大值为（）A．1+2B．1+22C．3+2D．3+22【解答】解：由题意设P（2cosθ，2sinθ）（0≤θ＜2π），则LPQ＝|1﹣2cosθ|+|2﹣2sinθ|，当cosθ≥12时，即当θ∈[0，�3]∪[5�3，2�）时，LPQ＝2cosθ﹣1+2﹣2sinθ＝1+22cos（θ+�4），∵θ∈[0，�3]∪[5�3，2�），∴�+�4∈[�4，7�12]∪[23�12，94�），则当�+�4=2π时，LPQ的最大值为1+22；当cosθ＜12时，即当θ∈（�3，5�3）时，LPQ＝1﹣2cosθ+2﹣2sinθ＝3−22cos（θ+�4），∵θ∈（�3，5�3）∴�+�4∈（7�12，23�12），第8页（共17页）则当�+�4=32�时，LPQ的最大值为3+22．综上所述，LPQ的最大值为3+22．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）已知a＞b＞0，c∈R，下列不等式恒成立的有（）A．（13）a＜（13）bB．ac2＞bc2C．log21�＞log21�D．（�+�2）2＜�2+�22【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，函数y=(13)�为减函数，故（13）a＜（13）b；故A正确；对于B：当c＝0时，ac2＝bc2；故B错误；对于C：当a＞b＞