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第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性知识梳理.函数的概念1．偶函数(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．(2)图像特征：图像关于y轴对称．2．奇函数(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．(2)图像特征：图像关于原点对称．3.函数奇偶性的判断①定义法②图像法③运算性质④复合函数的判断题型一.奇偶性的定义1．有下列四个命题：①若函数定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数；②若函数定义域关于原点对称，则该函数为奇函数或偶函数；③若定义域内存在一实数x，使得f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；④若定义域内存在一实数x，使得f（﹣x）≠f（x），则f（x）不为偶函数；⑤既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）；⑥偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数，以上命题中正确的为．2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）A．B．C．D．3．定义在R上的函数f（x）是偶函数，且f（x）＝f（2﹣x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（）A．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数4．对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x）＝f（2﹣x），则函数f（x）关于直线x＝1对称；④若对x∈R，有�(�+1)=−1�(�)，则f（x）的最小值正周期为4．其中正确命题的序号是．（填写出所有的命题的序号）题型二.函数奇偶性的判断考点1.一般函数奇偶性的判断1．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）＝x+1�（2）f（x）＝2﹣|x|（3）f（x）=�2−1+1−�2（4）f（x）=��−1．考点2.分段函数奇偶性的判断1．已知函数f（x）=�2+2�，�≤0�2−2�，�＞0．（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（2）求不等式f（x）≤3的解集．考点3.含参函数的奇偶性判断1．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣a|（a≠0），h（x）=−�2+�(�＞0)�2+�(�≤0)，则函数f（x），h（x）奇偶性依次为（）A．偶函数奇函数B．奇函数奇函数C．偶函数偶函数D．奇函数偶函数考点4.抽象函数奇偶性的判断1．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y＝f（|x|）；②y＝f（﹣x）；③y＝xf（x）；④y＝f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④2．（1）已知函数f（x），x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）•f（x2），求证：f（x）为偶函数；（2）设函数f（x）定义在（﹣l，l）上，证明：f（x）+f（﹣x）是偶函数，f（x）﹣f（﹣x）是奇函数．3．设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）＝﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问在﹣3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．题型三.已知函数奇偶性求参1．已知函数f（x）＝�(�+1)(2�+�)为奇函数，则实数a＝．2．已知函数f（x）＝ax2+（b﹣1）x为偶函数，且定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝．3．若函数�(�)=�(�−�)，�≥0��(�+2)，�＜0（a，b∈R）为奇函数，则a+b的值为．知识梳理.函数奇偶性的应用如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0.(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．题型一.利用奇偶性求函数的解析式1．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+2），则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）＝﹣x（x+2）B．f（x）＝x（x+2）C．f（x）＝﹣x（x﹣2）D．f（x）＝x（x﹣2）2．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣2，那么不等式f（x）＜0的解集是（）A．（0，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，若f（6﹣a2）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）题型二.关于奇偶性的两个结论1．已知定义域为R的函数g（x）＝f（2x）+x2为奇函数，且f（2）＝3，则f（﹣2）＝（）A．﹣2B．﹣5C．1D．﹣32．已知为f（x）奇函数，h（x）＝f（x）﹣9，h（1）＝2，f（﹣1）＝（）A．11B．﹣11C．9D．﹣2题型三.利用函数奇偶性和单调性比较大小1．若f（x）为偶函数，且在（﹣∞，0）单调递增，则下列关系式中成立的是（）A．f（−32）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（32）＜f（﹣1）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（−32）D．f（﹣2）＜f（32）＜f（﹣1）2．已知定义在R上的奇函数f（x）在满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且区间[0，2]上单调递增，则（）A．f（﹣1）＜f（3）＜f（4）B．f（4）＜f（3）＜f（﹣1）C．f（3）＜f（4）＜f（﹣1）D．f（﹣1）＜f（4）＜f（3）3．设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）＝f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小题型四.利用函数奇偶性和单调性解不等式1．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（13）的x的取值范围是（）A．[13，23]B．（13，23）C．（13，23]D．[13，23）2．已知偶函数f（x）的定义域为（﹣3，3），且f（x）在（0，3）是减函数，且f（m﹣1）﹣f（3m﹣1）＞0，则实数m的取值范围是（）A．（0，12）B．（−23，0）∪（12，43）C．（12，+∞）∪（﹣∞，0）D．（−23，43）3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．4．如果定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），在（0，+∞）内是减函数，又有f（3）＝0，则x•f（x）＜0的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}D．{x|x＜﹣3或x＞3}5．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]题型五.函数奇偶性和单调性的综合问题1．若函数f（x）＝（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递增区间是．2．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为．3．已知函数�(�)=|�|+1�，则函数y＝f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．4．已知f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的奇函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f（2x）的解集为（）A．[﹣1，23]B．[﹣1，13]C．[﹣1，1]D．[13，1]5．若函数f（x+1）为偶函数，对任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2，都有（x2﹣x1）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则有（）A．�(13)＜�(32)＜�(23)B．�(23)＜�(32)＜�(13)C．�(23)＜�(13)＜�(32)D．�(32)＜�(23)＜�(13)6．已知函数h（x）（x≠0）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=−�24，0＜�≤44−2�，�＞4，若h（t）＞h（2），求实数t的取值范围．7．已知函数f（x）=��+�1+�2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=12，（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．8．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x2+bx+c，若f（1）＝f（3），f（2）＝2．（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；（2）求f（x）在x＜0时的表达式；（3）若关于x的方程f（x）＝ax（a∈R）有解，求a的取值范围．9．已知函数f（x）=��2+2�−3�的定义域上的奇函数，且f（2）=−53，函数g（x）是R上的增函数，g（1）＝1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）＝g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣x2+ax．（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m﹣1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．11．设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0），对任意实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝f（x1x2）．（1）求f（1）和f（﹣1）的值．（2）求证：y＝f（x）为偶函数．（3）若y＝f（x）在（0，+∞）上为减函数，试求满足不等式f（2x﹣1）＞f（1）的x的取值范围．12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有�(�)+�(�)�+�＞0．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若�(�)+�(1−2�−�)＜0对任意�∈(−∞，12]恒成立，求实数k的取值范围．第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性知识梳理.函数的概念1．偶函数(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．(2)图像特征：图像关于y轴对称．2．奇函数(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．(2)图像特征：图像关于原点对称．3.函数奇偶性的判断①定义法②图像法③运算性质④复合函数的判断题型一.奇偶性的定义1．有下列四个命题：①若函数定义域不关于原点对称，则该函数是非奇非偶函数；②若函数定义域关于原点对称，则该函数为奇函数或偶函数；③若定义域内存在一实数x，使得f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；④若定义域内存在一实数x，使得f（﹣x）≠f（x），则f（x）不为偶函数；⑤既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）；⑥偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数，以上命题中正确的为①④⑥．【解答】解：对于①，由函数的奇偶性的定义可知，