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第1页（共24页）2021年山东省日照市高考数学适应性试卷（二模）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝sin7�6−icos7�6，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知|�→|=2，|�→|＝4，当�→⊥（4�→−�→）时，向量�→与�→的夹角为（）A．�6B．�4C．2�3D．3�44．（5分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A．33����B．33����C．12����D．12����5．（5分）已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5•a6＝a7，则T7的值是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）若实数x、y满足条件x2+y2＝1，则�−2�+1的范围是（）A．[0，2]B．[﹣3，5]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，−34]7．（5分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3第2页（共24页）疏散乘客时间（s）120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．m1B．m2C．m3D．m48．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x﹣1）是奇函数，当0≤x≤1时，有�(�)=1−�2，若函数y＝f（x）﹣k（x﹣2021）的零点个数为5，则实数k取值范围是（）A．15＜�＜12B．16＜�＜13C．312＜�＜24或k=−612D．−33＜�＜−612或612＜�＜33二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知曲线C的方程为�2�+1+�23−�=1(�∈�)，则（）A．当m＝1时，曲线C为圆B．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为�=±33�C．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为2（多选）10．（5分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少C．丁险种更受参保人青睐第3页（共24页）D．30周岁以上的人群约占参保人群20%（多选）11．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是（）A．四边形BFD1E不一定是平行四边形B．平面α分正方体所得两部分的体积相等C．平面α与平面DBB1可以垂直D．四边形BFD1E面积的最大值为2（多选）12．（5分）若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1C．1+1�＞logt（t+1）D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有种．14．（5分）若不等式（x﹣a）2＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数a的取值范围是．15．（5分）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为�� ，�� ，�� ，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经20°和东经60°，则球面△NPQ的面积为．16．（5分）如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O'，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE＝4．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e＝．第4页（共24页）四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2ccosC＝acosB+bcosA．（1）求C的大小；（2）若b＝3a，c=7，求△ABC的面积．18．（12分）已知正项数列{an}，其前n项和为Sn，an＝1﹣2Sn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式：（2）设��=(−1)�(1��+2�)，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD＝θ．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）有三个条件：①θ＝60°；②直线AC与平面BCD所成的角为45°；③二面角A﹣CD﹣B的余弦值为33．请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值．20．（12分）近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波动．为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施．该部门调查研究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元/斤）走势如图所示：第5页（共24页）（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y（元/斤）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），若不调控，依据相关关系预测12月份玉米的销售均价；（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：�=37 ��=25，�=37 ��=5.36，�=37 (��−�)(��−�)=0.64．回归方程�̂=�̂�+�̂中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：�̂=�=1� ����−����=1� ��2−�(�)2=�=1� (��−�)(��−�)�=1� (��−�)2，�̂=�−�̂�．21．（12分）已知抛物线E：y2＝2px，过抛物线E上一点C（1，3）作直线CA，CB交抛物线于A，B两点，交x轴于D，F两点，且CD＝CF．（1）求E的方程：（2）求△ABC的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由．22．（12分）已知�(�)=�����−������，其中a＞0且a≠1．（1）若a＝2，φ（x）＝f'（x），曲线y＝φ（x）在点（t，φ（t））处的切线为l，求直线l斜率的取值范围：（2）若f'（x）在区间（0，2π）有唯一极值点x0，①求a的取值范围；②用min{a，b，c}表示a，b，c的最小值．证明：f'（x0）＜min{2aπ，（1﹣a）π}．第6页（共24页）2021年山东省日照市高考数学适应性试卷（二模）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝[﹣2，1）．故选：C．【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝sin7�6−icos7�6，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用诱导公式化简求值，求得z的坐标得答案．【解答】解：∵z＝sin7�6−icos7�6=−sin�6+icos�6=−12+32�，∴z在复平面内对应的点的坐标为（−12，32），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的求法，是基础题．3．（5分）已知|�→|=2，|�→|＝4，当�→⊥（4�→−�→）时，向量�→与�→的夹角为（）A．�6B．�4C．2�3D．3�4【分析】根据题意，设向量�→与�→的夹角为θ，由数量积的计算公式可得�→•（4�→−�→）＝4�→•�→−�→2＝162cosθ﹣16＝0，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量�→与�→的夹角为θ，若�→⊥（4�→−�→），则�→•（4�→−�→）＝4�→•�→−�→2＝162cosθ﹣16＝0，变形可得：cosθ=22，又由0≤θ≤π，则θ=�4，第7页（共24页）故选：B．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．4．（5分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A．33����B．33����C．12����D．12����【分析】根据等腰三角形的边角关系，用SA和OA表示出AB的一半，从而得出侧棱与底面内切圆半径的比．【解答】解：设O为正六棱锥S﹣ABCDEF底面内切圆的圆心，连接OA，OB，如图所示：由题意可知∠AOB=�3，∠SAB=�2−�，∴OA＝AB，SA•cos（�2−�）＝SA•sinθ=12AB，∴��=��2����，设内切圆半径为r，则tan�3=�12��=3，r=32��，∴侧棱与底面内切圆的半径的比为���=��2����32��=33����．故选：A．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，若a5•a6＝a7，则T7的值是（）A．1B．2C．3D．4第8页（共24页）【分析】由a5•a6＝a7，解得a1q3＝1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．【解答】解：∵数列{an}是等比数列，Tn是其前n项之积，a5•a6＝a7，∴a1q4•a1q5＝a1q6，解得a1q3＝1，∴T7＝a1•a2•a3•a4•a5•a6•a7＝a17q21＝（a1q3）7＝1．故选：A．【点评】本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6．（5分）若实数x、y满足条件x2+y2＝1，则�−2�+1的范围是（）A．[0，2]B．[﹣3，5]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，−34]【分析】令�−2�+1=����−2����+1=t，变形化简，利用正弦函数的有界性可得关于t的不等式，求解t的范围即可．【解答】解：令x＝cosα，y＝sinα，则�−2�+1=����−2����+1，令����−2����+1=t，得tcosα﹣sinα＝﹣2﹣t，有�2+1sin（φ﹣α）＝﹣2﹣t，（tanφ=�1+�2）．则sin（φ﹣α）=−2−�1+�2，由|�+2|1+�2≤1，解得t≤−34，所以�−2�+1的范围是（﹣∞，−34]．故选：D．【点评】本题考查圆的参数形式及三角函数的化简求值，考查运算求解能力，属于中档题