数学23年高三高考数学必备技能子集交集并集补集之间的关系式

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式一、结论1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：IIABABAABBACBCABIIUIU(其中I为全集)（1）当AB时，显然成立（2）当AB时，venn图如图所示，结论正确.2、子集个数问题：若一个集合A含有n（nN）个元素，则集合A的子集有2n个，非空子集有21n个.真子集有21n个，非空真子集有22n个.理解：A的子集有2n个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n个元素共有2n种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题+高考模拟）1．（2012·湖北·高考（文））已知集合2|320,,|05,AxxxxRBxxxN，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】求解一元二次方程，得2|320,|120,AxxxxxxxxRR1,2，易知|05,1,2,3,4BxxxN.因为ACB，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合3,4的子集个数，即有224个，故选D.【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，也可采用列举法，列出集合C的所有可能情况，再数个数即可.2．（2021·全国·模拟预测）已知集合24Axx，2211Bxxa，若ABBI，则实数a的取值范围是（）A．1,3B．2,3C．1,3D．2,3【答案】B【解析】解不等式2211xa，得1axa，所以1Bxaxa.由ABBI，得BA，画出数轴：∴214aa，解得23a﹒故选：B【反思】在利用数轴求BA包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵循两步法原则：①先确定大方向：由BA，结合数轴可以得到：214aa注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定a与2的大小，1a与4的大小；②再确定个别点：经过上述步骤再确定214aa不等式组中等号是否可以取到等号；假设2a；则由数轴可以观察出几何24Axx中左端是开区间；而集合1Bxaxa左端是闭区间，结合数轴假设2a不成立；同理假设14a，也不成立；故本题最后得到的关系式为214aa.三、针对训练举一反三1．（2013·福建·高考真题（文））若集合=1,2,3=1,3,4ABABI，，则的子集个数为A．2B．3C．4D．162．（2011·安徽·高考真题（理））设集合1,2,3,4,5,6,A4,5,6,7,B则满足SA且SBI的集合S的个数为A．57B．56C．49D．82422423．（2022·安徽黄山·一模（文））已知集合21,SssnnZ，3Txx，则STI的真子集的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（2022·全国·模拟预测）已知22,1,0,1,3,41{2}|,xABx，则RABIð的子集的个数为（）A．3B．4C．15D．165．（2022·重庆实验外国语学校一模）已知集合86AxNNx，则集合A的所有非空子集的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个6．（2021·全国·模拟预测）已知集合2210Mxxx，2,Nmm，若MNMU，则m（）A．－1B．－1或0C．±1D．0或±17．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知集合2340Axxx，集合2120Bxxaxa，且ABAU，则实数a的取值集合为（）A．3,2B．3,0,2C．3aaD．32aaa或8．（2021·全国全国·模拟预测）已知集合2270,QxxxxN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（）A．8B．9C．15D．169.（2021·辽宁实验中学二模）已知非空集合A、B、C满足：ABCI，ACBI．则（）．A．BCB．ABCC．BCAD．ABAC10．（2021·湖南·雅礼中学高一期中）定义,,xABzzxyxAyBy，设集合0,2A，1,2B，1C，则集合ABC的所有子集中的所有元素之和为_________．11．（2022·全国·高三专题练习）集合0,1,2,3,4,5S，A是S的一个子集，当xA时，若有1xA且1xA，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________．12．（2022·天津西青·高三期末）若集合20,1,2,3,1AByyxxA，，则集合B的所有子集的个数是_________.13．（2021·江西·模拟预测）设全集UR，集合22940Axxx，2Bxaxa.(1)当2a时，求UCAB；(2)若ABAI，求实数a的取值范围.14．（2021·江西·模拟预测）设全集UR，集合21Axaxa，14644xBx.(1)当1a时，求()UABð；(2)若ABAI，求实数a的取值范围.15．（2021·陕西·高新一中高一期中）已知集合2230,{1AxxxByy∣∣或3},{21}yCxxm∣，其中3m．(1)求ABI；(2)若UIABCC，求实数m的取值范围．16．（2021·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合25,|1|21AxxBxmxm.(1)当|25AxZx时，求A的非空真子集的个数；(2)若ABA，求实数m的取值范围；(3)若ABI，求实数m的取值范围.专题02交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)一、结论交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)(1)集合形式()()()IIICABCACBIU,()()()IIICABCACBUI(2)命题形式：()()()pqpq，()()()pqpq二、典型例题1．（2017·四川·三模（理））已知全集U，集合M，N满足MNU，则下列结论正确的是（）A．MNUUB．()UUMNIððC．()UMNIðD．()UUMNUUðð【解析】全集U，集合M，N满足MNU，绘制Venn图，如下：对于A：MNN，A错误；对于B：()UUUUNNMMNUIðððð，B错误；对于C：UMNð，C正确；对于D：()UUUUNNMMMIUðððð；D错误；故选：C【反思】本题主要借助venn图，对于B，D选项，充分利用德摩根律()()()IIICABCACBIU,()()()IIICABCACBUI，再结合venn图，可以快速，准确判断正误.2．（2011·广东汕头·一模（理））设123SSS、、是全集U的三个非空子集，且123SSSUUU，则下面论断正确的是A．323USSSIUðB．123UUSSSIððC．123UUUSSSIIðððD．123UUSSSUðð【解析】根据公式)(()()UUUABABððð，(())()UUUABABððð，即可推出正确的结论．Q123SSSU，123123()UUUUUSSSSSSUððððð.故选：C.【反思】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式)(()()UUUABABððð，(())()UUUABABððð是解题的关键。三、针对训练举一反三1．（2021·上海市进才中学高一期中）已知U为全集，集合A、B非空，且AB，则下列式子中一定是空集的为（）A．UABðB．UAB∩ðC．UUABððD．UUABUðð2．（2021·全国·高一课时练习）已知U为全集，则下列说法错误的是（）A．若ABI，则UUABUUððB．若ABI，则A或BC．若ABUU，则UUABIððD．若ABU，则AB3．（2021·全国·高一单元测试）已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，ABI.设集合UUABIðð中有x个元素，则x的取值范围是（）A．38,NxxxB．28,NxxxC．812,NxxxD．1015,Nxxx4．（2020·浙江·）已知全集UAB中有m个元素，UUABUðð中有n个元素，若ABI非空，则ABI的元素个数为（）.A．mB．nC．mnD．mn5．（2021·全国·高一单元测试）已知全集UR，则UUMNUðð（）A．U()MNIðB．MNIC．MNUD．R6．（2017·上海市育才中学）集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，设集合C()UABU有x个元素，则x的所有取值组成的集合为________．7．（2019·河南·高一阶段练习）已知函数21fxx的定义域为A，函数ln1ln1gxxx的定义域为B，设全集UR，则UUABUðð________．8．（2021·宁夏·吴忠中学高一期中）下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是_____________.(1)若ABI=，则UUCACBUU；(2)若ABI，则A或B;(3)若ABUU，则UUCACBI;(4)若ABU=，则AB.9．（2021·天津市滨海新区大港实验中学高一阶段练习）全集U=R，已知集合{(3)(2)0}Axxx，{3235}Bxx，{221}Cxaxa.(1)求RR,,()()ABABABIUIðð；(2)若,BCCI求a的范围.10．（2020·江苏省板浦高级中学高一阶段练习）设全集0,8U，集合25,16AxxBxx，（1）求()UBCAI．（2）求()()UUCACBU专题03奇函数的最值性质一、结论①已知函数()fx是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xD,都有()()0fxfx.②特别地,若奇函数()fx在D上有最值,则maxmin()()0fxfx;③若0D0D，则有(0)0f.（若()fx是奇函数，且0D(0)0f，特别提醒反之不成立）二、典型例题1．（2012·全国·高考真题（文））设函数221sin1xxfxx的最大值为M，最小值为m，则mM=___________.【解析】2221sin2sin111xxxxfxxx，令22sin()1xxgxx，则()gx为奇函数，所以()gx的最大值和最小值和为0，又()()1gxfx.有110Mm，即2mM.答案为：2.【反思】本题中()fx不是奇函数，无法直接使用结论，但是通过构造()()1gxfx，使得()gx是奇函数，从而有maxmin()()01102gxgxMmMm2．（2022·江苏盐城·一模）若55(3)()fxxxm是奇函数，则m___________.【解析】因为55(3)()fxxxm是奇函数，并且()fx定义域为R所以有(0)0f，即55033mm.【反思】在本例中，由于()fx是奇函数，并且0属于定义域，所以可以直接利用奇函数性质(0)0f求解三、针对训练举一反三1．（2022·河南·