2022届高三上学期开学摸底联考新高考卷数学试题解析

2022届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合02Axx=，22Bxx=−，则BA=（）A.()2,0−B.(2,0−C.(2,2−D.()0,22.已知1iz=−，则()2iz−的虚部为（）A.1B.iC.1−D.i−3.已知函数()()21,02,0xxfxfxx−+=−，则()3f=（）A.2B.32C.12D.34.已知数列na是公差不为零的等差数列，11a=，1a、3a、6a成等比数列，则5a=（）A.54B.74C.2D.35.在ABC中，2ACAD=，P为BD上一点，若14APABAC=+，则实数的值为（）A.12B.23C.34D.386.四色定理（Fourcolortheorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（）A.18种B.36种C.48种D.72种7.已知锐角满足π2cos2cos4=−，则sin2=（）A.18B.32C.12D.788.已知点F为抛物线2:4Cyx=的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若3ABFB=，则AB=（）A.9B.42C.22D.92二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.xR，关于x的不等式20xaxa−+恒成立的一个必要不充分条件是（）A.01aB.1a−C.102aD.10a10.已知圆()()221:2Cxmym−+−=与圆222:8Cxy+=无公共切线，则实数m的取值可以是（）A.2−B.12−C.12D.3211.已知实数x，y满足lnlnxy，则下列结论不正确的是（）A.tantanxyB.1122xyC.2211yxxy++D.()248yxyx+−12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P为线段11AC上的动点（点P与1A，1C不重合），则下列说法正确的是（）A.BDCP⊥B.三棱锥CBPD−的体积为定值C.过P，C，1D三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D.DP与平面1111DCBA所成角的正弦值最大为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()ln2fxxx=+在点()()1,1f处的切线方程为__________．14.写出一个与椭圆22:153xyC+=有公共焦点的椭圆方程__________．15.在()()42211xxx−++的展开式中，5x的系数为__________（用数字作答）．16.已知函数()fx是定义域在R上的偶函数，当0x时，3πsin,01,22()11,1,2xxxfxx=+若关于x的方程()()()()210fxafxa−++=有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na中，11a=，且满足12nnaan+=−，()2*nnbann=+N．（1）证明：数列nb是等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）设nS为数列11nnbb+的前n项和，求满足512nS的n的最小值．18.在①2cos2aCbc=−，②()23sin2sin12ABC+=+，③()2coscosbcAaC−=，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．（1）求A的大小；（2）若ABC的面积2534ABCS=，且5a=，求ABC的周长．19.电视传媒公司为了解某地区观众对“中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”，已知“诗词迷”中有15名男性，“非诗词迷”共有75名．（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关？非诗词迷诗词迷合计男女合计（2）采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查，若再从这5人中任意选取2人奖励诗词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设xy=−，求的分布列及期望．附：()()()()()22nadbcKabaccdbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.如图，在底面为梯形的四棱锥PABCD−中，//ADBC，22PAPDADDCBC=====，CD⊥平面PAD，Q为AD的中点．（1）证明：AD⊥平面PBQ；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．21.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率为62，且该双曲线经过点23,2P．（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为1k，2k的两条直线1l，2l均经过点()2,1Q，且直线1l，2l与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若121kk+=，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．22.已知函数()ln1e1xxfxmxx=−−−．（1）当0m=时，求()fx的单调区间；（2）若对任意的()0,x+，均有()0fx，求实数m的最小值．