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第1页共6页三明一中2021-2022学年上学期开学考高二数学试卷（时间：120分钟，满分150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.以下函数最小正周期不是的是( )A. ( )= 2 B.)24sin()(xxfB.xxftan)(D.)421sin()(xxf2.设OABC是四面体,若D为BC的中点，OCzOByOAxAD，则( , , )为( )A.(14 , 14 , 14)B.(−1, 12 , 12)C.(−13 , 13 , 13)D.(23 , 23 , 23)3.三棱锥 − 中， = = =2，∠ =90°，∠ =60°，则 · 等于()A.2B.−2C.−23D.234.已知 =(2,−1,4), =(−1,1,−2), =(7,5, )，若 , , 共面，则实数m的值为()A.760B.14C.12D.7625.已知角A、B、C分别是△ 的三个内角5sincos13AA,则△ 为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断6.著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.如函数 =2| | 2 的图象大致是( )第2页共6页7.给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有 + + + =0 ；②| |−| |=| + |是 ， 共线的充要条件；③若 ， 共线，则 // ；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若 = + + (其中x，y， ∈ )，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.48.已知定义在闭区间[1,16]的函数 ( )=log2 −1，如果函数 ( )= ( )2+ ( 2)+2的图像恒在x轴上方，那么实数a的取值范围为( )A.[1,3)B.(−1,1]C.−3,−1D.(−1,3)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，选全对得5分，漏选得2分，错选不得分）9.下列命题正确的是( )A.∃ ∈ ，log2 =−1B. 2=1是 =1的充分不必要条件C.∀ ∈ ， 2≥0D.若 ，则 2 2第3页共6页10.已知点P是△ 所在的平面外一点，若AB =(−2,1，4)，AP =(1,−2,1)，AC =(4,2，0)，则以下结论正确的是()A. ⊥ B. ⊥ C. =53D. // 11.下列结论正确的是( )A.在△ 中，若 ，则sin sin B.在锐角三角形ABC中，不等式 2+ 2− 20恒成立C.在△ 中，若 = 4， 2− 2= ，则△ 为等腰直角三角形D.在△ 中，若 =3， =60∘，三角形面积 =33，则三角形外接圆半径为3312.以下说法中，正确的是A.三棱锥OABC,若,OABCOBAC，则OCABB.直线a平面，b在平面内的射影为c，若ac，则bcC.G为△ 的重心，过G做直线与,OAOB分别交于点,MN,若,OMsOAONtOB,则113stD.若点G为△ 所在平面上的一点，若()OGOAABAC,则直线AG过△ 的外心.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分,15题第一空2分，第二空3分）13.已知复数 =32+12 ，z的共轭复数为 ，则 ⋅ =．14.设 , 分别是平面a， 的法向量， =(1,2,−2)， =(−2,−4, ).若 // ，则实数 =．15.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1■，■，设前后两个污损的数字分别为,ab，则ab，当这组数据的方差最大时，a．第4页共6页16.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝π3，C为弧AB上的一个动点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋4y的取值范围是________．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.（本题10分）已知空间向量 =2,4,−2， =−1,0,2， = ,2,−1．(1)若 // ，求| |；(2)若cb，求( − )⋅(2 + )的值．18.（本题12分）已知集合 ={ | +3 −30}，集合 ={ | 2− −2 20，其中 0}．(1)当 =2时，求 ∩ ；(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．第5页共6页19.（本题12分）如图所示，三棱柱 — 1 1 1中，M，N分别是 1 ， 1 1上的点，且 =2 1 ， 1 =2 1 .设 = ， = ， 1 = ．(1)试用 ， ， 表示向量 ；(2)若∠ =90°，∠ 1=∠ 1=60°， = = 1=1，求MN的长．20.（本题12分）在正方体中1111DCBAABCD，已知O为 1 1中点,以D为原点，1,,DDDCDA所在直线分别为zyx,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzD.(1)求平面 1的法向量n，并证明 1 //平面 1;(2)求异面直线 1 与OD夹角的余弦值．21.（本题12分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克)与药熏时间 (小时)成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克)达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克)与时间 (小时)的函数关系式为 =(132) − ( 为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克)关于第6页共6页时间 (小时)的变化曲线如图所示．(Ⅰ)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量 (毫克)与时间 (小时)之间的函数关系式；(Ⅱ)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22.（本题12分）已知(1,cos),(sin,3)axbx（1）若ab，求2sin2cosxx的值；（2）设()fxab，将函数 = ( )的图象向右平移 6个单位长度得到曲线C，保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的12倍得到 ( )的图象，且关于x的方程 ( )− =0在[0, 2]上有解，求m的取值范围．第1页，共4页三明一中2021-2022学年上学期开学考高二数学试卷（时间：120分钟，满分150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1-5DBBBC6-8DCD二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9、AC10、AC11、ABC12、ABC三、天填空题（本大题共4小题，共20.0分）13、114、415、10,916、]4,1[四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17、【答案】解：(1)∵ // ，∴ 2=24=−1−2，∴解得： =1，∴ =1,2,−1，故| |=1+4+1=6．(2)∵ ⊥ ，∴− +2×0−1×2=0，解得： =−2，∴ =−2,2,−1，∴ − =4,2,−1，2 + =−4,2,3，∴( − )⋅(2 + )=−16+4−3=−15．【解析】本题考查空间向量的线性运算，考查空间向量的坐标运算，考查求空间向量的模长及数量积，属于基础题．(1)由 // 得 2=24=−1−2，解出x，从而求得 的坐标，根据模长公式求解即可；(2)由 ⊥ 得− +2×0−1×2=0，解出x，从而求得 的坐标，再计算 − ，2 + 的坐标，根据空间向量数量积的坐标运算公式计算即可．18、【答案】解：(1)由 +3 −30，得−3 3，所以 ={ |−3 3}，当 =2时，由 2−2 −80，得−2 4，所以 ={ |−2 4}，所以 ∩ ={ |−2 3}．(2)由 2− −2 20及 0，得− 2 ，第2页，共4页因为 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，说明 ⫋ ，所以− ≥−32 ≤3，且等号不能同时成立，解得 ≤32，又 0，所以实数m的取值范围是(0,32].【解析】本题考查了集合的运算，一元二次不等式的解法，必要不充分条件的应用，属于中档题．(1)先求集合M，N，再进行集合交集运算即可求得答案；(2) ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，所以− ≥−32 ≤3，且等号不能同时成立，即可求得m的取值范围．19、【答案】解：(1)∵ =2 1 ， 1 =2 1 ，∴ 1 =13 1 ， 1 =13 1 1 =13 ，∴ = 1 + 1 1 + 1 =13 1 + +13 =13( 1 − )+ +13( − )=13 − + +13 − =13 +13 +13 ；(2) + + 2= 2+ 2+ 2+2 · +2 · +2 · =1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，∴ + + =5， =13 + + =53．【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用..第3页，共4页(1)由已知条件可得 1 =13 1 ， 1 =13 1 1 ，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出 =13 +13 +13 即可；(2)求MN的长，即求13 →+ →+ →，利用求向量模的方法，求出 →+ →+ →，即可求得MN的长．20、【答案】(1)证明： (12,12,1), 1(0,1,1)，故 =(12,12,1)， 1 =(0,1,1)，设平面 1的一个法向量为 →=( , , )，由{ →. →=0 →. 1→=0得{12 +12 + =0 + =0,令 =1，则 =−1, =1，所以 →=(1,1,−1)．又 1 →=(−1,0,−1)．从而 →. 1 →=0，CB1在平面1ODC外所以 1 //平面 1.(2)解：设 1 →、 →分别为直线 1 与OD的方向向量，则由 1 →=(−1,0,−1)， →=(12,12,1)得cos 1 →, →=−32．所以两异面直线 1 与OD的夹角 的余弦值为 =32．【解析】本题主要考查了线面平行以及异面直线的夹角求解，属于中等题.根据题意建立空间直角坐标系，(1)写出各点坐标，求解平面 1的一个法向量即可得证；(2)写出 1 , 的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解第4页，共4页21、【答案】解：(Ⅰ)依题意，当0≤ ≤0.2时，