2021合肥三模理科数学试卷及答案解析

高三数学试题（理科）答案  第1 页（共4页）合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.114.28yx15.1260016.①②三、解答题：17.(本小题满分12分)解：(1)由2sin4aCb得sincosabCC.由正弦定理得sinsinsincosABCC，即sinsinsincosBCBCC，∴cossinsinsinBCBC.∵在ABC中，sin0C，∴cossinBB，即tan1B.∵0B，，∴4B.…………………………5分(2)由余弦定理得222cos2acbBac，即222222acbac，∴2222bacac.又∵222bac，∴22acac2，即ac.由(1)知4B，又∵2c，∴ABC面积112sin222.222SacB.………………12分18.(本小题满分12分)(1)证明：∵DE∥BC，BC⊥平面ABE，∴DE⊥平面ABE.又∵AE平面ABE，∴DE⊥AE.在RtADE中，由60DAE，6DE得，23AE.又45,,2.BACBCABABBC在ABE中，2222cosAEABBEABBEABE，解得4BE.∴222BEABAE，即ABAE.而BCAE，∴AE⊥平面ABC.又∵AC平面ABC，∴AE⊥AC.…………………………5分(2)解：连接BD交CE于点G，连接FG.∵AB∥平面CEF，平面ABD平面CEFFG，∴AB∥FG，∴AFBGFDGD.在直角梯形BCDE中，BCGDEG，∴13BGBCGDDE，∴13AFFD.如图，以E为坐标原点，EB，ED所在的直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，D(0，0，6)，C(4，0，2).又∵A(330，，)，∴13334442AFAD，，，∴9333442F，，，∴7331442CF，，，404DC，，.题号123456789101112答案CBACAACDCDBD高三数学试题（理科）答案  第2 页（共4页）令平面CDF的一个法向量为mxyz，，，由00CFmDCm，得733200.xyzxz，取1x，得131m，，.同理，平面CEF的一个法向量为336n，，，∴cos0mnmnmn，，即二面角DCFE的大小为.2…………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)A系统需要维修的概率为231311112222C，B系统需要维修的概率为23452155111111222222CC，设X为该电子产品需要维修的系统个数，则12XB，，200X.2211200(012),22kkkPkPXkCk，，∴的分布列为∴120022002E.…………………………6分(2)A系统3个元件至少有2个正常工作的概率为223323123APCppppp，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率为2334455511BPCppCppp54361510ppp，则2543226151233121BAfpPPppppppp.∵01p.令0fp，解得112p.所以，当112p时，B系统比A系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A系统；当102p时，A系统比B系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B系统；当12p时，A系统与B系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A，B系统检测不分次序.………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)2ln1fxxax，则22axfxaxx.①当0a时，0fx，fx在0，上单调递增.∵10f，∴当1x时，10fxf，不符合题意，舍去；②当02a时，21a，由0fx得，20xa，由0fx得，2xa.∴fx在20a，上单调递增，在2a，上单调递减.∵10f，∴当21,xa时，10fxf，不符合题意，舍去；0200400P141214高三数学试题（理科）答案  第3 页（共4页）③当2a时，21a，由0fx得，01x；由0fx得，1x.∴fx在01，上单调递增，在1，上单调递减.又∵10f，∴0fx成立.④当2a时，21a，由0fx得，20xa，由0fx得，2xa.∴fx在20a，上单调递增，在2a，上单调递减.∵10f，∴当2,1xa时，10fxf，不符合题意，舍去；综上得，2a.…………………………6分(2)由(1)知，当2a时，0fx在1，上成立，即ln1xx.令211kxn(12kn，，，)，则22ln111kknn，∴2222112ln1ln1111111nkknnnnn22221121112121112121nnnnnnnnnn，即2222112111ln21nnnnnn，∴2222112111nnnnnen(*nN)..…………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)由题意知7262BQBABQBDDQ，且628AQ，根据椭圆的定义得，交点B的轨迹是一个以A，Q为焦点的椭圆，262a，28c，∴22218162bac，∴曲线C的方程为221182xy.…………………………4分(2)由曲线T与曲线C相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T经过点30E，，30F，，可设曲线T的方程为22182xy(0).将点0F3，坐标代入上式得，12，∴曲线T的方程为2219xy.设P(00xy，)，M(11xy，)，G(22xy，).①当切线PG的斜率不存在时，切线PG的方程为：3x，代入221182xy得1y，此时PH与曲线T相切，M为PG的中点，N为PH的中点，12MNGH是一个定值；同理可求，当切线PH的斜率不存在时，12MNGH也是一个定值.高三数学试题（理科）答案  第4 页（共4页）②当切线PG和PH的斜率都存在时，设切线PG的方程为：ykxm，分别代入2219xy和221182xy，化简整理得2229118990kxkmxm①，22291189180kxkmxm②.由题意知，方程①有两个相等的实数根1x；方程②有两个不相等的实数根02xx，，∴110221891kmxxxxk，∴0212xxx，∴0202112222yykxxmkxmy,此时，M为PG的中点.同理可证，N为PH的中点，12MNGH是一个定值.综上可知，12MNGH是一个定值.…………………………12分22.(本小题满分10分)(1)直线l的参数方程为1cos2sinxtyt(t为参数).由2cos4sin得，22cos4sin，∴曲线C的直角坐标方程为24.xy…………………………5分(2)将直线l的参数方程1cos2sinxtyt代入24xy，并整理得22cos2cos4sin70tt.设点,PQ对应的参数分别为12,tt，由线段PQ的中点为M得120tt，即22cos4sin0cos，∴直线l的斜率1tan.2k∴直线l的方程为1212yx，即230xy.…………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)当2a时，221fxxx.当2x时，2224fxxx，解得43x，结合2x得，解集为；当21x时，2224fxxx，解得0x，结合21x得，01x；当1x时，2224fxxx，解得43x，结合1x得，413x＜.∴原不等式的解集为403，.…………………………5分(2)当12x时，221xaxx＞可化为222xaxx＞，∴222xaxx或222xaxx，即存在12x，，使得232axx，或22axx.∴14a，或2a，∴实数a的取值范围为1,2,4.…………………………10分