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《数学建模》课程(MathematicsModeling)数学建模培训主讲教师：任驰远建模一般步骤及范例2评阅标准及论文写作4试题分析及论文导读33建模一般思维方法312评阅标准及论文写作4试题分析及论文导读33建模一般思维方法31建模一般步骤及范例群体思维方法平等地位、相互尊重、充分交流杜绝武断评价不要回避责任不要对交流失去信心发散性思维方法借助于一系列问题来展开思路这个问题与什么问题相似？如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？极限情形（或理想状态）如何？综合问题的条件可得到什么结果？要实现问题的目标需要什么条件？借助于下意识的联想（灵感）来展开思路抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想综合所得到的联想和猜想，得到一些结论进一步思考找出新思路和方法建模一般步骤及范例2评阅标准及论文写作4试题分析及论文导读3331建模一般思维方法数学建模的一般步骤问题分析模型假设建立模型模型求解模型分析模型检验模型应用问题分析了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中建立模型用数学的语言、符号描述问题发挥想象力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.模型应用数学建模的一般步骤1、问题分析问题的前期分析包括：明确问题、分析条件、分析数据为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:*提出问题的人未能清楚地表述问题.*不同领域的人交流出现故障.*各领域的应用者提出问题时，未给出恰当的条件.*未能准确理解问题.对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.(1)明确问题例1一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见.“究竟需要做什么？”为明确问题,可向有关人员询问如下问题：1.公司的规模有多大？2.该公司的推销员的工作方式？遇到一个新问题时,首先应问自己着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析原问题“推销员人数问题”明确为：（1）不同规模的销售队伍会有什么影响；（2）怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.明确了工作的目标,即设置好问题的目标态.(2)条件及数据分析设置好问题的目标态，着手工作还需要做以下工作：1.收集必要的资料和数据。2.分析现有的数据和条件，使问题进一步明确化。怎样收集数据和资料？可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到。收集数据应列入工作计划，并注意：1.向有关人员调查情况应事先设计好问题；2.事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件对收集到的或者现有的资料和数据要做仔细分析，使问题进一步明确。5.哪些条件是可以变动的？等等2.数据来源是否可靠？3.所给条件有什么意义？4.哪些条件是本质的？还应该分析1.从数据中可得到什么信息？建模过程中的几个要点模型的整体设计合理的假设建立数学表达式建立数学结构时刻牢记建模目的2、建立模型完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的数量关系和结构关系。应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的地位和作用.例1考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水.问题：怎样才能有效地保障各用户的正常用水？(1)模型的整体设计按下述步骤对模型进行整体设计1.分析系统的组成部分（研究对象、实体）相关实体有：水库,管道,水箱和用户.*实体间的结构关系可表示如下：水库管道水箱用户*以上各实体都可能是我们的研究对象.*应分析相对于各个实体的因素对供水的影响2.分析各实体之间的关系,找出联系各实体的变量.实体之间的作用关系图各实体之间的关系管道与水箱：管道的水流量水库与管道：水库的水深水箱与用户：出水口的水流量（或有效水深）用户：总用水量3.根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑的变量以及变量之的关系表达式.假设“水库能保证管道所需的水流量”，现需考虑t时刻以下变量：*总需水量D(t)；*水箱的有效储水量Q(t)及QM；或流出水流量F（t）及FM；*管道能提供的供水量G(t)及GM.分析各变量的特征：*D(t)不可控，但可以对其进行描述；*G(t)是可控变量。4.用数学语言描述要解决的问题选择适当的函数G(t)，使得有Q(t)=G(t)－F(t),F(t)=D(t),0＜G(t)＜GM，0＜Q(t)＜QM，同时成立.建模工作的整体设计:1）确定需求函数D（t），是保证有效控制的基础；2）制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；3）求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；4）分析各种参数对方案的影响；5）分析随机因素的影响.模型整体设计的作用1）可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的子任务。2）可把握住工作的重点、要点和难点.做出模型的整体设计后，着手建立模型之前，撰写一份工作提纲.建议:(2)做出假设根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的关键步骤。合理假设的作用简化问题明确问题限定模型的适用范围一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。例2飞行管理问题中有叙述：“对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）”如何理解？通过假设：*所给飞行方向角数据的误差不超过0.01度.或*数据的运算结果误差限控制为0.01度.使问题完全明确.例3渔业管理问题中关于“季节性集中产卵繁殖”,如何理解“产卵孵化期是一年的最后四个月”？最优捕鱼策略飞行管理模型有以下几种假设:*产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，从而孵化也是均匀进行.*产卵时间服从方差很小的正态分布.*鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵，在最后一天孵化出来.哪一条“最好”？第三种与第二种没有本质的差别，处理较容易.分析：第一种不符合鱼类的生物学实际；第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；假设起到简化问题的作用假设“渔场是非开放式的，不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落”将建立的数学模型限定在一定的适用范围.设计假设应遵循的原则*假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；*善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化.*避免过于简单、过于详细或不合理.例4渔业管理问题中有条件：“平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵”.分析：为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件.*“平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的平均，故在计算总产卵量时，不考虑雌雄区别.有两种假设：*雌雄鱼的比例是1:1；哪一种较为合理？最优捕鱼策略可假设：*每到次年初，头一年的1、2、3龄鱼均增1岁，将5龄鱼归并为4龄鱼.合理性解释：事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为3年，另一方面经过捕捞后4龄鱼的数量很少，可以忽略不计.对于假设：*有时需要对假设以及假设的推论进行检验；问题：当年的4龄鱼，第二年如何处理？*应意识到隐含的假设.3、求解模型求数学模型的解重要而困难求解纯数学问题求解数学模型*涉及不同数学分支的知识，同时还需借助与背景知识.*针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求数值解.*有类问题可采用分析法得到问题的实际解答(如微分方程定性分析).4、模型解的分析和检验始于现实世界并终于现实世界数学建模工作最终要得到现实问题的解答求出模型的数学解以后，必须对解的意义进行分析、检验需讨论以下类似问题：1.这个解说明了什么问题？2.是否达到了建模的目的？3.模型的适用范围怎样？4.所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？……量纲一致性检验；假设的合理性检验；对模型参数的灵敏度分析；模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等；参数或变量的临界值；……模型与模型解的分析与检验，通常需要做以下几类工作：一个例子：Google搜索引擎的奥妙引言互联网的高速发展使得网络上的信息量爆炸似的增长，高效搜索信息越来越重要，信息引擎已经成为除电子邮件之外的第二大互联网网应用。在众多搜索引擎中，Google以其庞大的搜索量，快速而精确的搜索结果和极高的知名度成为搜索引擎的代名词。可是你知道它是如何工作的吗？1、Google及其查询过程2、搜索引擎需要完成的工作从页面上可以看到，与关键词“mathmodeling”匹配的结果有3000多万条；与关键词“数学建模”匹配的关键词有130多万条；用户需要的显然不是所有，而是其中最重要的，如何实现快速的搜索，如何合理定义网页的重要性无疑是Google制胜的关键。如何最快速最精确的提供搜索结果？搜索引擎完成的工作：自动下载尽可能多的网页；建立快速有效的索引；根据相关性对网页进行公平准确的排序。2、搜索引擎需要完成的工作从页面上可以看到，与关键词“mathmodeling”匹配的结果有3000多万条；与关键词“数学建模”匹配的关键词有130多万条；用户需要的显然不是所有，而是其中最重要的，如何实现快速的搜索，如何合理定义网页的重要性无疑是Google制胜的关键。如何最快速最精确的提供搜索结果？搜索引擎完成的工作：自动下载尽可能多的网页；建立快速有效的索引；根据相关性对网页进行公平准确的排序。它要用到图论中的遍历（Traverse)算法。图论中所讨论的的图由一些节点和连接这些节点的弧组成。如果我们把中国的城市当成节点，连接城市的国道当成弧，那么全国的公路干线网就是图论中所说的图。关于图的算法有很多，但最重要的是图的遍历算法，也就是如何通过弧访问图的各个节点。以中国公路网为例，我们从北京出发，看一看北京和哪些城市直接相连，比如说和天津、济南、石家庄、南京、沈阳、大同直接相连。我们可以依次访问这些城市，然后我们看看都有哪些城市和这些已经访问过的城市相连，比如说北戴河、秦皇岛与天津相连，青岛、烟台和济南相连，太原、郑州和石家庄相连等等，我们再一次访问北戴河这些城市，直到中国所有的城市都访问过一遍为止。这种图的遍历算法称为“广度优先算法”（BFS)，因为它先要尽可能广地访问每个节点所直接连接的其他节点。外还有一种策略是从北京出发，随便找到下一个要访问的城市，比如是济南，然后从济南出发到下一个城市，比如说南京，再访问从南京出发的城市，一直走到头。然后再往回找，看看中间是否有尚未访问的城市。这种方法叫“深度优先算法”（DFS)，因为它是一条路走到黑。这两种方法都可以保证访问到全部的城市。需要记录已经访问过的城市，以防同一个城市访问多次或者漏掉哪个如何自动下载互联网所有的网页呢？通过超链接，我们可以从任何一个网页出发，用图的遍历算法，自动地访问到每一个网页并把它们存起来。完成这个功能的程序叫做网络爬虫，或者在一些文献中称为“机器人”（Robot)。假定我们从一家门户网站的首页出发，先下载这个网页，然后通过分析这个网页，可以找到藏在它里面的所有超链接，也就等于知道了这家门户网站首页所直接连接的全部网页，诸如雅虎邮件、雅虎财经、雅虎新闻等等。我们接下来访问、下载并分析这家门户网站的邮件等网页，又能找到其他相连的网页。我们让计算机不停地做下去，就能下载整个的互联网。当然，我们也要记载哪个网页下载过了，以免重复。在网络爬虫中，我们使用一个称为“哈希表”(HashTable)的列表而不是一个记事本纪录网页是否下载过的信息。现在的互联网非常巨大，不可能通过一台或几台计算机服务器就能完成下载任务。比如雅虎公司（Google没有公开数目，这里举了雅虎的索引大小为例）宣称他们索引了200亿个网页，假如下载一个网页需要一秒钟，下载这200亿个网页则需要634年。因此，一个商业的网络爬虫需要有成千上万个服务器，并且由快速网络连接起来。如何建立这样复杂的网络系统，如何协调这些服务器的任务，就是网络设