暑假赛前培训(3)教师版

华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！2010年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析（3）姓名一、准确填空：1.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是0.98元，付运费等开支1840元，预计损耗为1%.如果希望全部进货销售后能获利17%，问：每千克苹果零售价应当定为元?解：全部进货所需费用：0.98×52000＋1840＝50960＋1840＝52800(元)能销售的总量：52000×(1-1%)＝52000×99%＝51480(千克)设每千克苹果零售价应当定为x元，则52800×(1+17%)＝x×51480x=52800×1.1751480x=1.2答：每千克苹果零售价应当定为1.2元.2.计算：19+199+1999+…+个1999999991=?解：19+199+1999+…+个1999999991＝(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+(个1999000002-1)＝20+200+2000+…+个1999000002-个1999)111(＝个1999222220-1999＝个19962222220221评注：像上例那样，加减运算时，常采用凑整的方法使运算简便，有时，加减运算还可采用其他方法，使运算简便.如：计算：(2000-1)+(1999-2)+(1998-3)+…+(1002-999)+(1001-1000)＝?华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！解法一：先把每个小括号内的结果算出来，所得的差分别是1999、1997、1995、…3、1，可按求连续奇数的和，求出算式的结果.原式＝1999+1997+1995+…+3+1＝(1999+1)×21211999〈高斯求和公式〉＝2000×1000121＝1000000或原式＝1999+1997+1995+…+3+1＝2211999〈从1开始若干个连续奇数和等于奇数个数的平方〉＝10002＝1000000解法二：先把所有的小括号去掉，然后利用加法交换律，减法的运算性质进行计算.原式＝2000-1+1999-2+1998-3+…+1002-999+1001-1000＝(2000+1999+1998+…+1002+1001)-(1+2+3+…+999+1000)＝(2000+1001)×212110012000-(1+1000)×212111001＝3001×500-1001×500〈高斯求和的方法〉＝(3001-1001)×500＝2000×500＝1000000当然，进行分数加减时，需考虑分母的特征，选择恰当的方法进行计算.总之，进行加减计算，究竟采用什么办法，需要依据题目的特征，具体问题具体分析.二、谨慎推理：3．某商贸服务公司，为客户出售货物收取3%的服务费，代客户购置物品收取2%服务费.今有一客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备.已知该公司共扣取了客户服务费264元，而客户恰好收支平衡，问：所购置的新设备花费了多少元?解：为简洁一些，用字母m代表出售货物的钱，用字母n代表购置设备的钱，根据题意，该公司共扣取了客户服务费264元,列出关系式：m×3%+n×2%＝264(元).又根据题意，“客户恰好收支平衡”，即m×(1-3%)＝n+n×2%，华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！m＝n×(1+2%)1-3%，所以n×(1+2%)1-3%×3%+n×2%＝264(元)，也就是n×(1+2%)×3%+n×2%×(1-3%)＝264×(1-3%)(元)，n×［(1+2%)×3%+2%×(1-3%)］＝264×(1-3%)(元)因此，n＝264×(1-3%)(1+2%)×3%+2%×(1-3%)＝264×97%1.02×3%+0.97×2%＝264×973.06+1.94＝256085＝5121.6(元)答：所购置的新设备花费了5121.6元.4．一列数，前3个是1，9，9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数，求：这列数中的第1999个数是几?解：根据题意，写出这列数的一部分，1，9，9，1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0，1，1，2…….可以看出，除了前3项1，9，9，这个数列每隔13项(1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0)循环一次，所以，这列数中的第1999个数是几，关键是看1999个数中除前3个以外，每13个数循环一次，循环若干次后的余数.(1999-3)÷13＝1996÷13＝153……7也就是说，这列数中的第1999个数，正好是按1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0这样的顺序每13个数循环一次，总共循环了第153次后，第154次循环开始的第7个数，正好是0.答：这列数中的第1999个数是0.三、急中生智：5.将1～9这九个数字填入图7-7的9个圆圈中，使每华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！个三角形和每条直线上的3个数字之和相等(写出一个答案即可).解答：根据题意，将1～9这九个数字填入9个圆圈中，正好将1～9这九个数字的和平均分成三组，因此可以求得每个三角形和每条直线上的3个数字之和：(1+2+3+…+8+9)÷3＝45÷3＝15按题目要求，图7-7共有六祖数，用了18个数字，每个数字使用了2次。相当于将1－9这九个数字分为3组，每组数字和是15，有两种不同的分法。现在分配如下：第一种：（1，6，8），（2，4，9），（3，5,7）第二种：（1，5，9），(2,6,7),(3,4,8)将第一种分法的三组数放在三条线段上，第二种的三组数自然就被确定在三个三角形上（见图7-7a）.类似，将第二种分法的三组数放在三条线段上，第一种的三组数自然就被确定在三个三角形上（见图7-7b）所以，如果不计较三个三角形和三条直线的相互位置，那么图7-7a和图7-7b则是仅有的两种填法.评注：解答填数问题，除了首先找出平均数外，有时还需要在不止一个的答案中，选择符合题目要求的答案.如:在一个由六个圆圈组成的三角形里，把10到15这6个数分别填入图7-8的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是多少？.解答：根据题意，10到15这6个数的和是75，而其中有三个数被加了两次，为使三角形的每条边上的三个数的和S不仅相等，且S的值最大，那么被加图7-7b图7-8图7-7a华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！了两次的3个数应是13、14、15，所以，三角形的每条边上的三个数的和是：(75+13+14+15)÷3＝117÷3＝39这就是说，三个较大的数(被加了两次的数)应分别填入三角形的三个顶点上(图7-8a).6.如图7-9，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求图示立体的表面积和体积.(取π＝3.14)解：根据题意，所求图形的表面积和体积，都和被挖去的部分有关。根据题意，所求图形表面积由两部分组成：外侧表面积和内侧表面积.外侧表面积，实际上是原来大正方体的表面积，除去四个边长为4厘米的正方形的面积，再除去两个直径为4厘米的圆的面积(见图7-9).即10×10×6-4×4×4-22×π×2＝600-64-25.12＝510.88(平方厘米)而内侧表面积是被挖去部分的表面积，除去两个直径为4厘米的圆面积，再除去四个边长为4厘米的正方形面积(见图7-9a).即224104224416241042＝192+6.88+75.36＝274.24(平方厘米)因此，所求图形的表面积：274.24+510.88＝785.12(平方厘米)结合图示，所求图形的体积等于原来大正方体的体积减去被挖去部分的体积.图7-8a图7-9a图7-9华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！原正方体的体积是10×10×10＝1000(立方厘米)，被挖去部分的体积（见图7-9b）：(4×4×3)×4+4×4×4+21×π×(10-4)÷2×2＝192+64+75.36＝331.36(立方厘米).因此，所求图形的体积：1000-331.36＝668.64(立方厘米).答：所求立体的表面积是785.12平方厘米，体积是668.64立方厘米.四、规律探求：7．a是自然数，且111111117个na，求a的最小值.解答：问题相当于求最小的n，使1111111个n能被17整除。由于9与17是互质的，问题又转化为相当于求最小的n，使得9999999个n能被17整除。7176458823529410.0)110(171)110(17110nnnb大家知道：一个小数被10乘过之后，就等于将原小数的小数点向右移一位.将上面那个循环小数记作x，于是xxbn10，其中n10将x中的小数点向右移n位.由此可见，如果b是正整数，必须而且只须n是x的循环节中所含数字的个数的倍数，即n＝16k，k＝1，2，….当k＝1时，有最小的n＝16，因此，11611111117个a,于是4183653594771217111111116个a.8．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1，如此进行直到为1，操作停止.求经过9次操作变为1的数有多少个?解：设给出一个自然数0x，按照题目中指定的操作，可以经过9次操作，作出以下图7-9b华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！10个自然数：98210xxxxx.已知19x，有多少个自然数8x按题目的操作得到1？8x只能是2；，这时有多少个自然数7x按题目的操作得到2，显然，两种可能47x和1；再倒推一次，6x有三种可能：2，3，8，依次计算，画出树形图（图7-12）。做过第k步之后，设ka是kx为的偶数的个数，kb是奇数的个数(k＝0，1，2，…，9)，如由图7－12所示，：由操作方法可知：对于偶数m，有m2和1m依照题目操作可以得到这个偶数m；对于奇数m，就仅有一个数m2依照题目操作可以得到这个奇数m。所以：111,kkkkkaabba依上述规律，列出下表：9x8x7x6x………2x1x0x偶数个数0112358132134奇数个数101123581321答：经过9次操作后变为1的数有55个.五、小试牛刀：9.已知knm,,为自然数，knm，knm222是100的倍数，求knm的最小值.解：因为100整除knm222，100＝4×25，knm222＝1222knkmk.kn，否则，knm222＝m2就不能被25整除，可见2kn。这时候，若有最小的knkm使122knkm被25整除，则有最小的kknkm＝knm使knm222是100的倍数。可以取k尽可能的小，所以，2k.为表达简洁一些，下面的式子评注：)5(22Mod表示2被5除的余数是2；………………………………………1412283161674图7-12华中师范大学史为林（①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤）整理愿各位同学学习进步！金榜题名！)5(422Mod表示22被5除的余数是4；)5(323Mod表示32被5除的余数是3；)5(124Mod表示42被5除的余数是1；这时候若①422m并且222n；②322m并且322n时，则有2222nm被5整除余1，12222nm应当被5整除。所以可以计算：（注意n