概率统计培训讲义第3章

概率统计培训讲义五类知识点难较困难知识练应多加练习中中等难度悟应加深理解易容易把握随机变量离散型随机变量连续型随机变量数字特征二维随机向量第三章随机变量と概率分布数学预备知识几个重要的级数之和Newton二项式公式：无穷递缩等比数列之和(|q|1)随机变量n0kknkknnbaCb)(aq1aqaqaaqa1k1110kk1!kx!2xx1!kxek20kkx事件的独立性事件A与B相互独立指：如P(A|B)=P(A)(P(B)0)或如P(B|A)=P(B)(P(A)0)或如P(AB)=P(A)P(B)A与B独立A与B也独立A与B独立A与B也独立A与B独立A与B也独立1.随机变量的概念随机现象的量化(实)引入随机变量的意义随机变量的记法：ξ,η随机变量的分类：离散型连续型随机变量的例子掷两枚骰子得的点数某商店日顾客数收看某电视节目的人数上每十分钟一班的公交车的候车时间某地块的茶叶产量2.离散型随机变量随机变量的记法：ξ,η随机变量的分类：离散型连续型P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…)概率函数的性质离散型随机变量离散型随机变量:只取有限个或可列个值的随机变量其概率函数P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…)要求：⑴pk≥0⑵∑pk=1离散型随机变量两行表格[p.73(3.1)]；P(ξ=xk)=pk的表达式如[p.74(3.6)]；“钉图”(p.75图3.1)。重要の离散型随机变量两点分布ξ~B(1,p)二项分布ξ~B(n,p)泊松分布ξ~P(λ)两点分布射中气球的概率为p，不射击的q=1-p.P(ξ=k)=pkq1-k(k=0,1)二项分布ξ~B(n,p)次品率为p的产品中抽n件，其中次品数ξ~B(n,p)q=1-p.P(ξ=k)=n)0,1,...,(kqpCknkkn泊松分布ξ~P(λ)某品种的鸡，每千只鸡的日下蛋量ξ~P(λ)P(ξ=k)=,...)1,0k(e!kk离散型の总结分布名记号分布列两点分布B(1,p)pk=pkq1-k(k=0,1)二项分布B(n,p)pk=Cnkpkqn-k(k=0,1,..,n)泊松分布P(λ)pk=λke-λ/k!(k=0,1,2,...)分布函数定义：F(x)=P(ξ≤x)-∞x+∞(1)有界:0≤F(x)≤1-∞x+∞(2)单调非减:x1≤x2F(x1)≤F(x2)(3)有极限：(4)处处右连续。1)(lim,0)(limxFxxFx分布函数の计算定义：F(x)=P(ξ≤x)-∞x+∞P{ξ＝a}=F(a)-F(a-0)P{ξa}=F(a-0)P{ξa}=1-F(a)P{ξ≥a}=F(a)-F(a-0)分布函数の例子两点分布ξ~B(1,p)的分布函数ξ01pqp11qxyy=F(x)03.连续型随机变量如果随机变量ξ的分布函数为F(x),存在一个在(-∞,+∞)上非负的可积函数p(x)使得：则称ξ是一个连续型随机变量,p(x)=F’(x)为ξ的概率密度函数。),()()(xdttpxFxOy=p(x)xyxF(x)),()()(xdttpxFxOf(x)xy{}()()()d.baPaXbFbFafxxP{aXb}ab例子公交车每5分钟一班，随机去候车，等车的时间为ξ分钟：ξ∈[0,5)且机会均等这种分布叫均匀分布，记作：ξ～U[0，5])5,0[x5x)x(P)x(F分布函数と概率密度函数均匀分布ξ～U[0,5]的分布函数150xyy=F(x)0x0F(x)=x/50≤x≤51x51/50≤x≤5p(x)=0其它连续型随机变量的性质离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…)pk≥0且∑pk=1连续型随机变量ξ的概率密度函数：p(x)≥0且1dt)t(p重要の连续型随机变量均匀分布U[a,b]指数分布E(λ)正态分布N(μ,σ2)均匀分布ξ~U[a,b]其分布函数为概率密度函数为bx1bxaabaxax0)x(F其它01)(bxaabxfF(x)与f(x)的图形0abxf(x)ab10abxF(x)1指数分布ξ~E(λ)其分布函数为概率密度函数为1-e-λxx≥0F(x)=0x0λe-λxx≥0f(x)=0x0指数分布ξ～E(λ)概率密度函数为xf(x)Oλe-λxx≥0f(x)=0x0正态分布ξ~N(μ,σ)概率密度函数为?1)(:),(21)(222)(dxxxexx证明)1,0(~21)(202NXexx正态分布ξ~N(μ,σ)要证明：1dxe21222)x(作变量替换，令：xyNdye21dye21dxe212y2y2)x(2222记作正态分布ξ~N(μ,σ)0202r2yx22y2x2dr]rde21[sinrycosrxdxdye)21(dye21dxe21N22222正态分布ξ~N(μ,σ).1N,1N1)0e(22drdre212r0202r22取正态分布ξ~N(μ,σ)概率密度函数为f(x)Oxf(x)Ox1.51.00.5若X～N(m,s2),则X的分布函数为),(21)(222)(xexxx)1,0(~21)(202NXexx标准正态分布：f(x)xbabadxxab)()()(-3-2-1012300.511.5-3-2-10123F(x)与f(x)的图形Φ(x)+Φ(-x)=1；Φ(-x)=1-Φ(x)；Φ(0)=0.5；x0时，P(|ξ|≤x)=2Φ(x)-1标准正态分布性质正态分布表之作用定理1：如X～N(μ,σ2),则这叫标准化。N(0,1)叫标准正态分布，它有表可查。(P.366))1,0(~NXY◎外例：将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器的温度定在dºC,液体的温度X(以ºC计)是一个随机变量,且X～N(d,0.52)(1)若d=90ºC,求X小于89ºC的概率;(2)若要求保持液体的温度至少为80ºC的概率不低于0.99,问d至少为多少?X～N(d,0.52)(1)若d=90ºC,求X小于89ºC的概率;解(1)所求概率为9089908990{89}0.50.50.5(2)1(2)10.97720.0228XPXPz0123456789.................................1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.976720.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857X～N(d,0.52)(2)若要求保持液体的温度至少为80ºC的概率不低于0.99,问d至少为多少?800.99{80}10.50.58010.5XddPXPd即8010.990.010.5d亦即8010.991(2.325)(2.325)0.5dz0123456789.................................1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.976720.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.99362.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.9952802.3250.5d故需d81.1635重要的连续型随机变量分布名记号概率密度函数均匀分布U[a,b]指数分布E(λ)正态分布N(μ,σ2)???其它0]b,a[xab1)x(p????其它00xe)x(px222)(21)(xexp4随机变量の数字特征数学期望与方差◎常见随机变量的数学期望；◎随机变量数学期望的性质；◎方差的定义、求法、常见随机变量的方差；从平均数到数学期望某村有两块地，平均亩产分别为200和1000，总平均亩产量是多少？这个问题缺数据。如补充已知两块地分别为99亩和1亩，则：20810002001991100099200100110099M随机变量的数学期望如P(ξ=xk)=p(xk)(k=1,2,...)是随机变量ξ的概率函数,和∑p(xk)xk绝对收敛,则称该级数之和∑p(xk)xk为ξ的数学期望。记作：Eξ如p(x)是随机变量ξ的概率密度函数，积分绝对收敛,则称该积分为ξ的数学期望;常见的连续型随机变量的数学期望.Eξ＝dx)x(xp二项分布的期望n0kknkknn0kkqpkC)x(kPEn1k)1k()1n(1k1k1nqppnC1n0ii1nii1nqpCnpnp)qp(np1nξ～B(n,p),P(ξ=k)=,由定义：knkknqpC均匀分布的期望ξ～U[a,b],p(x)=1/(b-a)a≤x≤b,由定义：babadx)x(xpdx)x(xpEab)ab(2xxdxab1dxabx2baba2ba)ab(2)ab)(ab()ab(2ab22数学期望的性质常数的期望：Ec=c随机变量常数倍的期望：Eaξ=aEξE(aξ+b)=aEξ+bE(ξ+η)=Eξ+Eη如ξ与η独立，则可乘性：E(ξ×η)=Eξ×Eη方差的定义及计算Dξ=E(ξ-Eξ)2=Eξ2-2ξEξ+(Eξ)2Dξ=Eξ2-(Eξ)2Dc=0Daξ=a2DξD(aξ+b)=a2Dξ如ξ与η独立，则可加性：D(ξ+η)=Dξ+Dη二项分布的方差ξ～B(n,p),P(ξ=k)=Cnkpkqn-k,EX=np：n0kknkkn2n0kk22qpCk)x(PkEn1kknkknn1kknkknqpkCqpC)1k(knpqppC)1n(nn1k)2k()2n(2k22k2nnpqpCp)1n(n2n0ii2nii2n2npnppnnp)qp(p)1n(n2222n2npqpnnpnp