竞赛培训专题5---指数函数

-1-竞赛培训专题5---指数函数、对数函数一、计算：例1.化简(1)(2)(3)解：(1)x的指数是所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1(3)原式=-2-例2.若，求解：因为所以f(x)+f(1-x)=1=例3.已知m,n为正整数，a0,a¹1,且求m,n解：左边=原式为loga(m+n)=logamn得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1因为m,nÎN，所以从而m=n=2-3-二、比较大小例1.试比较与的大小解：令121995=a0则¸=所以例2.已知函数f(x)=logax(a0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比较与的大小解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)∵x1,x2ÎR+,∴(当且仅当x1=x2时，取“=”号)，当a1时，有，∴即(当且仅当x1=x2时，取“=”号)-4-当a1时，有，∴即(当且仅当x1=x2时，取“=”号)例3.已知y1=，y2=，当x为何值时(1)y1=y2(2)y1y2(3)y1y2解：由指数函数y=3x为增函数知(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5解得x1=2,x2=3(2)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5解得x2或x3(3)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5解得2x3三、证明例1.对于自然数a,b,c(a£b£c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w(1)(2)求证：a+b=c证明：由(1)得：∴把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3A4-5-证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg19841000198410000故3A4例3.设f(x)=logax(a0,a¹1)且(q为锐角)，求证：1a15证明：∵q是锐角，∴，从而a1又f(15)==sinq+cosq=1故a15综合得：1a15例4.已知0a1,x2+y=0，求证：证：因为0a1，所以ax0,ay0由平均值不等式故-6-四、图象和性质例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y=-x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y=-x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y=-x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y=-x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3log2a+2b=2yM=3例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值解：易知f(x)的定义域为(0,+¥)因为y1=3+在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知故当x=4时，得f(x)的最大值是2另解：f(x)£3+=3-(1)f(x)=log2x(2)(1)´2+(2)消去log2x，得3f(x)£6，f(x)£2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2例7.求函数的最小值-7-解：由1-3x0得，x0,所以函数的定义域为(-¥,0)令3x=t,则tÎ(0,1)，于是故当x=-1时，得y的最小值-2+2log23五、方程和不等式例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5(2)2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31)=5log2[2x(2x-31)]=5(2x)2-31×2x=32解得：2x=32,∴x=5(2)原方程即：(2lgx)2-5×2lgx+4=0解得：x1=100,x2=1例2.设a0且a¹1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0(1)由D=4a2-4³0得a³1,即a1令f(t)=t2-2at+1,f(a)=a2-2a2+1=1-a20所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内例3.解方程：lg2x-[lgx]-2=0(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)解：由[x]的定义知，[x]£x，故原方程可变为不等式：-8-lg2x-lgx-2£0即-1£lgx£2当-1£lgx0时，[lgx]=-1，于是原方程为lg2x=1当0£lgx1时，[lgx]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lgx]=0当1£lgx2时，[lgx]=1，原方程为lg2x=3，所以lgx=，当lgx=2时，x=100所以原方程的解为x1=例4.当a为何值时，不等式有且只有一解解：易知：a0且a¹1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为(1)当0a1时，原不等式为(1)由于当u³0时，与均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1-9-所以(1)等价于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有无穷多解(2)当a1时，不等式化为(2)由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x2+ax+5£4从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x=-1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解例5.已知a0且a¹1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即即分别解关于的不等式、方程得：(k¹0时)所以解得k-1或0k1又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)