第二讲曲线运动(奥赛培训内部资料好)

高中物理竞赛基础班@163.com第二讲：曲线运动高中物理竞赛基础班@163.com一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点速度方向一定变化切向力改变速度大小法向力改变速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解微元法概述高中物理竞赛基础班@163.com四、常见的曲线运动形式1.基本形式（1）抛体运动平抛运动斜抛运动（2）圆周运动2.比较复杂的曲线运动（1）螺旋运动平面螺旋螺距运动（2）漂移圆周运动高中物理竞赛基础班@163.comv2v1xpRxyOHh例1．如图所示，球1和球2均从同一点水平抛出，起抛点离水平地面的高度为H，水平速度分别为v1和v2（v1v2）。球1抛出后刚好能越过位于xp处的竖直杆顶端，并落于地面上的R点，R点与O点的距离为R。球2抛出后落于地面，与地面做弹性碰撞，反弹后也刚好能越过杆顶，并落在同一点R。试求：（1）两球初速度的比值；（2）杆的位置xp；（3）杆的高度h。一．平抛运动高中物理竞赛基础班@163.com点评一：平抛运动要点（1）概念：语言描述：数学解析式描述：一0vvxga图象描述：0vga（2）运动特点：水平方向：匀速直线运动竖直方向：自由落体（3）运动规律：水平方向：tvx0竖直方向：221gtygtvygyvy22高中物理竞赛基础班@163.com（4）质点运动的轨迹方程轨迹方程运动方程()(,)0()txxtfxyyyt消去()()()rrtxtiytjrP(x,y)xOyxy()()xxtyyt高中物理竞赛基础班@163.comtvx0221gty2202xvgyxyO0vxyO0vtvx0221gty2202xvgyxyOH0vtvx0221gtHy2202xvgHyxyOH0vaatvx0221gtHy220)(2axvgHy高中物理竞赛基础班@163.com（5）两点讨论位移的讨论xyO0vsxytvx0221gty22yxs方向：α002221tanvgttvgtxy速度的讨论xyO0vxvyvv0vvxgtvy22yxvvv方向：β0tanvgtvvxy高中物理竞赛基础班@163.com（6）二级结论表述方式一：平抛运动中，任一时刻物体速度方向与水平方向夹角的正切值，等于从运动开始到这一时刻物体的位移方向与水平方向夹角正切值的二倍。00tan22tan2gtgtvv高中物理竞赛基础班@163.com表述方式之二：平抛运动中，任一时刻物体速度的反向延长线与初速度延长线的交点，是这段时间内物体水平位移的中点。0221vgtOAxgt证明：如图所示，任取点P，作其切线的反向延长线交x轴与A点12OAx简化表述方式：交点是中点xyO0vvxvyvPAy高中物理竞赛基础班@163.comv2v1xpRxyOHh点评二：此题中小球的轨迹方程2202xvgHy点评三：运动的对称性分析R/32R/3小球1：起抛点、杆的顶端、落地点R；小球2：起抛点；第一次落地点：31Rx杆的顶端；反弹到最高点：322Rx落地点R。高中物理竞赛基础班@163.com解析：v2v1xpRxyOHhR/32R/3（1）由平抛运动轨迹方程有：球1：球2：2212xvgHy2222xvgHy落地点坐标：（R，0）22120RvgH①第一次落地点坐标：（R/3，0）222)3(20RvgH②321vv高中物理竞赛基础班@163.comv2v1xpRxyOHhR/32R/3（2）球2反弹后的轨迹方程：2222xvgHyRxx32式中222)32(2RxvgHy2212xvgHy球1：222221)32(22RxvgHxvgHRx2Rxp舍去高中物理竞赛基础班@163.comv2v1xpRxyOHhR/32R/3（3）球1：2212xvgHy两个特殊点：（xp，h）和（R，0）221)2(2RvgHh22120RvgHHh43高中物理竞赛基础班@163.com例2．如图所示，在一倾角为θ的斜面上，以初速度v0水平抛出一小球，落到斜面上，不计空气阻力，试讨论下列问题：（1）小球在空中的运动时间；（2）小球离斜面的最大高度；（3）证明小球落到斜面上时的速度方向与水平初速度v0无关。v0θ高中物理竞赛基础班@163.comv0θ解析：建立图中所示直角坐标系xy小球的运动分解为：x轴方向：初速度？加速度？y轴方向：初速度？加速度？g（1）小球在空中的运动时间tgvcossin20gvttan20（2）小球离斜面的最大高度Hgvcos2)sin(20cos2sin220gvH（3）证明tan2tan高中物理竞赛基础班@163.com例3．（2014模拟）大学新生军训演练中，同学们正在教官指导下进行投掷训练。（1）若已知手榴弹出手时速率为v0，与水平方向的夹角为θ，则手榴弹在空中运动的最小速率为多少？（2）若已知手榴弹出手时速率为v0，则其与水平方向夹角为多少时射程最远？最远射程为多少？（3）若已知目标离投掷点（手榴弹脱手时的位置）的水平距离为s，竖直高度为h，手榴弹质量为m。要准确命中目标，对手榴弹至少要做多少功？（以上过程中，均忽略空气阻力。）二．斜抛运动高中物理竞赛基础班@163.comxyθv0点评：斜抛运动要点分析（1）运动的分解水平方向：cos0vvx竖直方向：sin0vvy（2）空中运动时间ttvvgsinsin00gvtsin20（3）射程X和射高Y2sinsin2cos2000gvgvvtvXxgYvy22gv2sinY220（4）极值讨论当θ=450时，gvXm20（5）轨迹方程tvxcos02021singttvyxxvgytancos22220当θ=900时，gv2Y20mXY1sinαtanαsecαcosαctgαcscα高中物理竞赛基础班@163.com（1）手榴弹做斜抛运动，将其初速度分解为水平和竖直两个方向，则有：解析：cos00vvxsin00vvy当手榴弹运动到最高点时，竖直方向的分速率为零，此时速率最小，其值为：cos0minvvvxo（2）设手榴弹出手时速度与水平地面的夹角为θ，空中运动时间为t，射程为L，则有：tvtvLxcos00tvtvvgyysin2000gvgvvL2sinsin2cos2000因此，当θ=450时，射程最远。最远射程为：gvL20max高中物理竞赛基础班@163.com（3）设的手榴弹出手时速度为v0，方向与水平地面成θ角，以投掷点为坐标原点，竖直向上为y轴正方向，则t时刻手榴弹的位置坐标为：tvxcos02021singttvy因手榴弹准确命中目标，故目标位置满足位置方程，即：cos0tvs2021singttvh消除参数t，得：)tan1(2tan2202gssh即：0)2(tan2tan2022022hgssgs0)2(42420222202hgsgssacb2220shggh故要对手榴弹做功的最小值为)(2121222min0shgghmmW高中物理竞赛基础班@163.com例4．如图所示，一人从离地平面高为h处以速率v0斜向上抛出一个石子，求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？高中物理竞赛基础班@163.comxyα解法一：设抛射角为α，运动时间为ttvxcos02021sin-gttvh22220)21()(hgtxtv2220422)(4htghvtgx当2202222gghvabt时，x2有极值，x有极值gghvvxm2200ghvv22arcsin200高中物理竞赛基础班@163.comxyα解法二：设抛射角为αtvxcos02021sin-gttvhgghvvxm22000)()(412222042xhtvghtg0高中物理竞赛基础班@163.comxyα解法三：设抛射角为α，任一时刻ttvxcos02021singttvy2202cos2tanvgxxy当y=-h时，x=shhsgshsgsv2cos2sincos)tan(222220再用辅助角公式求解高中物理竞赛基础班@163.com解法四：将斜抛运动分解为v0方向的匀速运动和自由落体运动22202)21()(hgttvx其位移矢量图如右所示v0ty由图可知：x其他与解法一相同。高中物理竞赛基础班@163.com解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量图如右，该矢量图的面积v0vgtvxgxtvggtvSxx21)(2121因初速v0、末速v均为定值，显然当二者夹角为900时，S最大，因而x最大，所以有：ghvvvvgx22121212000gghvvxm2200高中物理竞赛基础班@163.com例5．一礼花竖直向上发射，达到最高点爆炸。设各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸开，试证明各碎片在下落过程中始终保持在同一球面上面，并求球面半径与球心位置随时间变化的规律（忽略空气阻力）。v0v0xv0yv0zzxyo点评:（1）速度的分解（2）运动分析X方向：Y方向：Z方向：222020ozoyxvvvv高中物理竞赛基础班@163.comv0v0xv0yv0zzxyo解析：以爆炸时刻为零时刻，爆炸点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，对任一碎片在时刻t，其位置坐标为：tvxx0tvyy02021gttvzz220222202222)()21(Rtvtvvvgtzyxozoyx式中0为任一碎片的初速率，与抛射角无关，对于每一给定时间t，上述方程式是一个球面方程，球面半径R=0t，即R随时间t成正比不断增大，球心位置为（0，0，），表明球心位置始终保持在z轴上，且随时间以重力加速度g加速下降。221gt高中物理竞赛基础班@163.com例6.初速度为v0的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程．v0v0xv0yv0zzxyo点评：建立图中直角坐标系，设