高中数学竞赛培训资料函数

高中数学竞赛培训资料函数例一．定义在R上的函数f(x)满足:f(x－x1)=x2+21x（对所有x≠0）则f(x)的表达式是例二．函数f(x)对任意正实数x，y满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。例三．设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(－6)例四．对于每个实数x，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是多少？例五．（91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为（A）18（B）12（C）9（D）0例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=)(x，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是(A)y=)(x（B）y=－)(x(C)y=－)(1x(D)y=－)(1x例七．设f(x)=2442x，求f(10011)+f(10012)+f(10013)f(10011000)之值。例八．定义在R上的函数y=f(x)具有以下性质1．对任何xR都有f(x3)=f3(x)2．对任何x1,x2R且x1≠x2都有f(x1)≠f(x2)则f2（－1）+f2（0）+f2（1）=例九．若a＞0,a≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)2111xa是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）与a的取值有关例十．已知函数y=f(x)，xR，f(0)≠0，且对于任意实数x1，x2都有f(x1)+f(x2)=2f(221xx)×f(221xx)，则此函数是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性不确定例十一．已知实数x,y满足(3x+y)2+x5+4x+y=0，求证：4x+y=0例十二．已知函数f(x)满足：1）f(21)=12）值域为1,13）严格递减,4）f(xy)=f(x)+f(y)试求不等式f－1(x)f－1(x11)≤21的解集。例十三．对任意整数x，函数f(x)满足f(x+1)=)(1)(1xfxf，若f(1)=2，求f(2001)例十四．（92年全国联赛试题）设f(x)是定义在R上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10－x)，f(20+x)=－f(20－x)，则f(x)是（A）偶函数又是周期函数（B）偶函数但非周期函数（C）奇函数又是周期函数（D）奇函数但非周期函数例十五．（90年全国联赛试题）设f(x)是定义在实数集上的周期函数且是偶函数，周期为2，已知当x3,2时f(x)=x，则当x0,2时（A）f(x)=x+4(B)f(x)=2－x(C)f(x)=3－|x+1|(D)f(x)=2+|x+1|练习：1．计算(log23)(log34)(log45)……(log6364)=2．已知f(x)=x2，g(x)=21x+5，g－1(x)表示g(x)的反函数，设F(x)=f)(1xg－g－1)(xf，则F(x)的最小值是3．对任意的函数f(x)，在同一直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f(1－x)的图象(A)关于x轴对称（B）关于直线x=1对称（C）关于直线x=－1对称（D）关于y轴对称4．方程sinx=lgx的实根的个数是(A)1(B)2(C)3(D)大于35．若F(xx11)=x，则下列等式中正确的是(A)F(－2－x)=－2－F(x)(B)F(－x)=F(xx11)(C)F(x－1)=F(x)(D)F(F(x))=－x6．已知函数f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5则f(3)满足(A)－7≤f(3)≤26(B)－4≤f(3)≤15(C)－1≤f(3)≤20(D)－328≤f(3)≤3357．函数f(x)=sinx(21121x)是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性不确定8．已知偶函数f(x)在4,0上是减函数，如果m=f(log2161)，n=f)1arccos(那么m,n的大小关系是(A)m＞n(B)m＜n(C)m=n(D)不确定9．定义域、值域都是R的函数y=f(x)是增函数，设方程f(x)=x的解集为P，方程x=f)(xf的解集为Q，则有(A)P=Q(B)PQ(C)QP(D)PQ且QP10．函数y=)(log231aaxx的递增区间是(－∞，1－3)则实数a是(A)2或1－3(B)2－23或1－3(C)2或2－23(D)－2或1－311．求证：1997)19971()19971(10001000是整数。12．设a＞0是实数，f(x)是定义在R上的实函数，对每一实数x满足条件：f(x+a)=2)()(21xfxf证明：是周期函数，实数2a是它的一个正周期。13．设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k－1，2k+1),已知：当xI0时，f(x)=x2求：f(x)在Ik上的解析式。14．函数f(x)定义在R上，且对一切实数x满足等式：f(x+2)=f(2－x),f(7+x)=f(7－x)设：f(x)=0的一个根是x=0，记f(x)=0在区间－1000≤x≤1000中根的个数为N求：N的最小值。15．设函数y=f(x)定义域为R，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意x，yR有：F(x+y)=f(x)f(y)，当x≠y时，f(x)≠f(y)（1）证明：f(0)=1；（2）证明：f(x)在R上递增；（3）设A=｛(x,y)|f(x2)f(y2)f(1)｝，B=｛(x,y)|f(ax+by+c)=1｝a,b,cR且a≠0若A∩B=，求a、b、c满足的条件。16．实数集R上的函数y=f(x)满足：①f(x1+x2)+f(x1－x2)=2f(x1)cos2x2+4asin2x2（x1、x2R，a是常数）；②f(0)=f(4)=1；③当x4,0时，|f(x)|≤2；试求：函数y=f(x)的解析式，及常数a的取值范围。