高中数学联赛培训讲义

高中数学联赛培训讲义全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。第一讲集合、函数、方程例1.集合{x|－1≤logx110－21，1x∈N}的真子集个数为。(96年全国高中联赛)【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为2n－1【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。练习①.已知集合A＝{y|2y3}，x＝31log121＋31log151，则x与A的关系是。(83年)②(93年)若M＝{(x,y)||tgπy|＋sin2πx＝0}，N＝{(x,y)|x2＋y2≤2}，则|M∩N|＝。A.4B.5C.8D.9附：|A|表示A的元素个数（93年）③若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使AA∩B成立的所有a的集合是。（98年）例2.f(x)（x∈R）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x19981，则：f(1998)、f(17101)、f(15104)由小到大的排列是。(98年全国高中联赛)【分析】利用周期函数、偶函数的性质，将函数自变量转化到区间[0,1]，再比大小。【解】【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性；转化思想。练习①设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是。(90年)A.f(x)＝x＋4B.f(x)＝2－xC.f(x)＝3－|x＋1|D.f(x)＝2＋|x＋1|②若a1，b1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值。(98年)A.等于lg2B.等于1C.等于0D.不是与a、b无关的常数③设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10＋x)＝f(10－x),f（20－x）＝－f(20＋x)，则f(x)是。(92年)A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数例3.设x与y为实数，满足(x－1)3＋1997(x－1)＝－1，(y－1)3＋1997(y－1)＝1，则x＋y＝。（97年全国高中联赛）【分析】构造函数f(t)＝t3＋1997t，将两等式变成函数值，再利用函数性质。【解】【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。练习①已知方程|x－2n|＝kx（n∈N）在区间(2n－1，2n＋1)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。(95年)A.k0B.0k≤121nC.121nk≤121nD.以上都不正确②用[x]表示不大于实数x的最大整数。方程lg2x－[lgx]－2＝0的实根个数是。(95年)③设函数y＝f(x)对一切实数x都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且方程f(x)＝0恰有6个不同的根，则这6个实根的和为。（91年）第二讲三角变换、三角不等式例1.设x∈(－21,0)，以下三数a＝cos(sinxπ)、b＝sin(cosxπ)、c＝cos(x＋1)π的大小关系是(96年全国高中联赛)A.cbaB.acbC.cabD.bca【分析】先判别符号，再比较同符号的几个。【解】【小结】比大小，可以先与0、1比较，先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法。练习①.已知0b1，0a4，则下列三数x＝(sinα)coslogb、y＝(cosα)coslogb、z＝(sinα)sinlogb的从小到大排列为。（94年）②.设α∈(4,2)，则(cosα)cos、(sinα)cos、(cosα)sin从小到大的排列为。（90年）③.四个数log1sincos1、log1sintg1、log1cossin1、log1costg1从小到大的排列为。（95年）例2.在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若c－a等于AC边上的高h,则sin2AC＋cos2AC的值等于。(9年全国高中联赛)【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，通过三角变换解决问题。【解】【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。练习①.cos210°＋cos250°－sin40°sin80°＝。（91年）②.在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，已知三内角成等差数列，且c－a等于AC边上的高h,则sin2AC的值等于。（91年）③.在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c(b≠1)，且AC、ABsinsin都是方程logbx＝logb(4x－4)的根，则△ABC。（92年）A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形例3.设x≥y≥z≥12，且x＋y＋z＝2，求cosxsinycosz的最大值和最小值。(97年)【解】【小结】积化和差；放缩法。练习①.已知0θπ，则sin2（1＋cosθ）的最大值是。(94年)②.已知f(x)＝asinx＋b3x＋4(a、b为实数)，且f(lglog310)＝5，则f(lglg3)＝。A.–5B.–3C.3D.随a、b取不同值而取不同值(93年)③.设a、b、c是实数，那么对任意实数x，不等式asinx＋bcosx＋c0都成立的充要条件是。(94年)A.a与b同时为0，且c0B.22ba＝cC.22bacD.22bac④.已知x、y∈[－4,4]，a∈R，且0cossin402sin33ayyyaxx，则cos(x＋2y)＝。（提示：构造函数法）（94年）第三讲数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列{an}首项a1＝1536,公比q＝－21。用πn表示它的前n项之积，则πn（n∈N）最大是。A.π9B.π11C.π12D.π13(96年全国高中联赛)【分析】先求出πn的表达式，再讨论该式的最大值问题。【解】【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。练习①.设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么1234aabb＝。（88年）②.设x,y,z是实数，3x、4y、5z成等比数列，且x1、y1、z1成等差数列，则zx＋xz的值是。（92年）③.设等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a10，Sn为前n项之和。则Sn(n∈N)中最大的是。A.S10B.S11C.S20D.S21(95年)例2.已知数列{an}满足3a1n＋an＝4(n≥1)，且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|1251的最小整数n是。（94年全国高中联赛）【分析】先求Sn【解】【小结】构造法。数列前n项和公式。练习①.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列共有。A.2个B.3个C.4个D.5个(97年)②.对于每个自然数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点间距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A1992B1992|＝。(92年)③.一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为。(89年)例3.设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足2nnaa－21nnaa＝2a1n（n≥2），且a0＝a1＝1，求a100/a99的值。【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化。【解】【小结】构造法。练习①.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组：第一组{1}、第二组{3,5,7}、第三组{9,11,13,15,17}、…。则1991位于第组中。（91年）②.已知数列{xn}满足x1n＝xn－x1n(n≥2)，x1＝a，x2＝b，记Sn＝x1＋x2＋…＋xn。则下列结论正确的是。（97年）A.x100＝－a，S100＝2b－aB.x100＝－b，S100＝2b－aC.x100＝－b，S100＝b－aB.x100＝－a，S100＝b－a③.已知集合M＝{x,xy,lg(xy)}，N＝{0,|x|,y}，并且M＝N，那么(x＋y1)＋（x2＋21y）＋（x3＋31y）＋…＋（x2001＋20011y）的值等于。（87年）第三讲数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列{an}(96年全国高中联赛)【分析】【解】【小结】练习①.②.③.例2.【分析】【解】【小结】练习①.②.③.例3.【解】【小结】练习①.②.③.第三讲数列、数列递推、数学归纳法例1.等比数列{an}(96年全国高中联赛)【分析】【解】【小结】练习①.②.③.例2.【分析】【解】【小结】练习①.②.③.例3.【解】【小结】练习①.②.③.2001年全国高中数学联合竞赛试题第一试(2001年10月14日8:00—9:40)一、选择题(每小题6分，满分36分)1.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为()A.1B.2C.4D.不确定2.命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2长方体中，必存在到各棱离相等的点；命题1长方体中，必存在到各面离相等的点；以上三个命题中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个3.在四个函数y＝sin|x|，y＝cos|x|，y＝|ctgx|，y＝lg|sinx|中以π为周期、在(0，2)上单调递增的偶函数是()A.y＝sin|x|B.y＝cos|x|C.y＝|ctgx|D.y＝lg|sinx|4.如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是()A.k＝83B.0＜k≤12C.k≥12D.0＜k≤12或k＝835.若(1＋x＋x2)1000的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋……＋a2000x2000，则a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998的值为()A.3333B.3666C.3999D.320016.已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是()A.2枝玫瑰花价格高B.3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定二、填空题(每小题9分，满分54分)7.椭圆ρ＝cos21的短轴长等于______________.8.若复数z1，z2满足|z1|＝2，|z2|＝3，3z1－2z2＝23－i，则z1z2＝_____________.9.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是_____________.10.不等式232xlog121的解集为________________.11.函数y＝x＋2x3x2的值域为_______________.12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一块种种植一种植物，相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案.三、解答题(每小题20分，满分60分)13.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1＝a12，b2＝a22，b3＝a32(a1＜a2)，又nlim(b1＋b2＋……＋bn)＝2＋1，试求{an}的首项与公差.14.设曲线C1：222yax＝1(a为正常数)与C2：y2＝2(x＋m)在x轴上方仅有一个公共点P(1)求实数m的取值范围(用a表示)(2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜21时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示)ABCDEF15.用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6)的电阻组装成一个如图的组件，组装中应该如何选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小?证明你的结论.