2010年高考数学冲刺复习资料专题二函数与导数的交汇题型分析及解题策略

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．7．熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f(x)的图象有密切的关系：1．导函数f(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com（1）若导函数f(x)在区间D上恒有f(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；（2）若导函数f(x)在区间D上恒有f(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2．导函数f(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f(x)的图象可能是（）【分析】根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】设f(x)是函数f(x)的导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）【分析】先观察所给出的导函数y＝f(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝f(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】由y＝f(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】在导函数f(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)≥0(≤0)，且f(x)在(a，20090318金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comb)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】(08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－23，－13)内是减函数，求a的取值范围．【分析】第（Ⅰ）小题先求导函数f(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得f(x)＝3x2＋2ax＋1，当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f(x)≥0，f(x)在R上递增，当a2＞3，f(x)＝求得两根为x＝－a±a2－33，则函数f(x)在区间(－∞，－a－a2－33)上递增，在区间(－a－a2－33，－a＋a2－33)上递减，在区间(－a－a2－33，＋∞)上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得－a－a2－33≤－23－a＋a2－33≥－13，且a2＞3，解得a≥2.【点评】本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式f(－23)≤0f(－13)≤0来求解.题型三求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】(08·四川)设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a和b的值；(Ⅱ)略.【分析】先求导函数f(x)，然后由x＝1和x＝2是f(x)＝0的两个根建立关于a、b的方程组求解.【解】因为f(x)＝5x4＋3ax2＋b，由x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点，所以f(1)＝0，且f(2)＝0，即5×14＋3a×12＋b＝05×24＋3a×22＋b＝0，解得a＝253，b＝20.【点评】解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a和b的值.【例5】(08陕西高考)已知函数f(x)＝kx＋1x2＋c(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x＝－c．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共13页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com【分析】先求导函数f(x)，然后令f(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k与c进行分类讨论进行解答.【解】(Ⅰ)f(x)＝k(x2＋c)－2x(kx＋1)(x2＋c)2＝－kx2－2x＋ck(x2＋c)2，由题意知f(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋2k（*）∵c≠0，∴k≠0．由f(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韦达定理知另一个极值点为x＝1．(Ⅱ)由（*）式得c＝1＋2k，当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜－2．(ⅰ)当k＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c，1)内是增函数．f(1)＝k＋1c＋1＝k2＞0，m＝f(－c)＝－kc＋1c2＋c＝－k22(k＋2)＜0，由M－m＝k2＋k22(k＋2)≥1及k＞0，解得k≥2.(ⅱ)当k＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c，1)内是减函数．∴M＝f(1)＝－k22(k＋2)＞0，m＝k＋1c＋1＝k2＜0，而M－m＝－k22(k＋2)－k2＝1－(k＋1)2＋1k＋2≥1恒成立．综上可知，所求k的取值范围为(－∞，－2)∪2，＋∞)．【点拨】第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】(08浙江高考)已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值.【分析】首先求函数f(x)，再解方程f(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】(Ⅱ)f(x)＝3x2－2ax．令f(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3．当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a．当2a3≥2，时，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0．当0＜2a3