专题6.1 数列的概念及通项公式(解析版)

6.1数列的概念及通项公式思维导图知识点总结1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2．数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔anan＋1递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔anan＋1常数列各项都相等的数列⇔an＝an＋1摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列典型例题分析考向一利用an与Sn的关系求通项或项1．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2022＝()A．2020B．2021C．2022D．2024解析：选C当n＝1时，a2＋2S1＝2＋1⇒a2＝1，当n≥2时，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，两式相减可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2，所以an＝1，可得Sn＝n，所以S2022＝2022.故选C.2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝()A．5×6nB．5×6n＋1C.1，n＝1，5×6n－2，n≥2D.1，n＝1，5×6n－2＋1，n≥2解析：选C当n＝1时，a2＝5S1＝5a1＝5，当n≥2时，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5(Sn－Sn－1)＝5an⇒an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以数列{an}从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以an＝1，n＝1，5×6n－2，n≥2.方法总结(1)已知Sn求an，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．考向二由递推关系求通项公式方法(一)累加法[例1](1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析](1)根据题意，an－a1＝(2n－1＋1)＋(2n－2＋1)＋…＋(2＋1)＝21－2n－11－2＋n－1＝2n＋n－3.故an＝2n＋n－2.(2)由an＋1＝an＋ln1＋1n，得an＋1－an＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn．当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn(n∈N*)；当n＝1时，a1＝2＋ln1＝2成立．故an＝2＋lnn(n∈N*)．[答案](1)2n＋n－2(2)2＋lnn方法(二)累乘法[例2]已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析]∵an＋1an＝n＋12n，∴当n≥2时，anan－1＝n2n－1，an＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1＝n2n－1·n－12n－2·…·323－1·222－1·1＝n2n－1，经检验当n＝1时也符合上式，∴an＝n2n－1.[答案]n2n－1方法(三)构造法[例3](1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝13an－1＋13n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，则数列{an}的通项公式an＝______.[解析](1)∵an＝13an－1＋13n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1·an－1＝1(n≥2)．又a1＝1,31·a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴数列{an}的通项公式an＝n＋23n.(2)令an＋1＋C＝3(an＋C)，则an＋1＝3an＋2C，又an＋1＝3an＋1，∴C＝12，故an＋1＋12＝3an＋12，而a1＋12＝32，∴数列an＋12是以公比为3，首项为32的等比数列，则an＋12＝32·3n－1，∴an＝12·(3n－1)．[答案](1)n＋23n(2)12·(3n－1)方法技巧(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为an＋1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1代入求出通项．(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键．(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．考向三数列的函数性质及其应用角度1数列的周期性[例1](2023·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝11－an(n∈N*)，则a2023等于()A．－2B．－1C．2D.12[解析]∵数列{an}满足a1＝2，an＋1＝11－an(n∈N*)，∴a2＝11－2＝－1，a3＝11－－1＝12，a4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2023＝a1＝2.[答案]C角度2数列的单调性[例2](2023·乐山市教育科学研究所模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝an2－78a＋174n＋172，n≤2，an，n2，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．(1.5，＋∞)B．(1.8，＋∞)C．(2，＋∞)D．(2.25，＋∞)[解析]因为{an}是递增数列，由n2时，an＝an可得，a1，所以当n≤2时，a1a2，即a－78a＋174＋1724a－74a＋172＋172，解得a2，又a3a2，所以a34a－74a＋172＋172，解得a32或a－32(舍)．综上，a2，即实数a的取值范围是(2，＋∞)．[答案]C角度3数列的最值[例3]已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)23n，若数列最大项为ak，则k＝________.[解析]由题意得ak≥ak＋1，ak≥ak－1，即kk＋423k≥k＋1k＋523k＋1，kk＋423k≥k－1k＋323k－1，化简得k2≥10，k2－2k－9≤0，解得k≤－10或k≥10，1－10≤k≤1＋10，即10≤k≤1＋10.又k∈N*，∴k＝4.[答案]4[方法技巧]1．解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．3．求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值．(2)利用an≥an－1，an≥an＋1(n≥2)确定最大项，利用an≤an－1，an≤an＋1(n≥2)确定最小项．基础题型训练一、单选题1．已知数列na的前4项依次为2，6，12，20，则数列na的通项公式可能是（）A．42nanB．22(1)nnanC．2nannD．1321nnan【答案】C【解析】利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，31012a，故A错误.对于B，41662220a，故B错误.对于C，22221234112,226,3312,4420aaaa，故C正确.对于D，3549112a，故D错误.故选：C.2．已知数列2,2,6,,2,n，则6是这个数列的（）A．第6项B．第12项C．第18项D．第36项【答案】C【分析】利用数列的通项公式求解.【详解】数列2,2,6,,2,n的通项公式为2nan，令26nan解得18n，故选:C.3．若()Pn表示正整数n的个位数字，2(2)naPnPn，数列na的前n项和为nS，则2021S（）A．1B．0C．1009D．1011【答案】C【分析】根据题意可判断数列na为周期数列，且周期为10，即可求解.【详解】由题意得11a，20a，33a，42a，55a，64a，75a，82a，97a，100a，111a，120a……所以数列na为周期数列，且周期为10．因为105S，所以20215202(1)1009S．故选：C.4．已知等差数列na中，13920aaa，则574aa（）A．30B．20C．40D．50【答案】B【分析】利用等差数列na的通项公式代入可得574aa的值.【详解】由13920aaa，得131020ad，则有5711144(4)631020aaadadad.故选：B.【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.5．数列na中，12,aaab且满足12nnnaaa，则2020a的值为()A．bB．b－aC．－bD．－a【答案】D【分析】求出数列na的周期，从而得到2020a的值.【详解】21nnnaaa，因为12,aaab，所以321aaaba，432aaababa，543aaaabab，654aaabaab，765aaaabba，所以na是以6为周期的数列，2020336644aaaa.故选：D6．设数列na满足12a，111nnaa，记na前n项之积为nT，则2021T（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【分析】先根据111nnaa推出周期为3，再计算出23,aa，然后利用周期可得2021T67312312()aaaaa，代入123,,aaa计算可得结果.【详解】由111nnaa得111nnaa，所以21111111111111nnnnnnnnaaaaaaaa，所以31111(1)nnnnaaaa，所以数列{}na是周期为3周期数列，因为12a，所以21111112aa，3211111(1)2aa，所以12312(1)12aaa，又202167332，所以2021T67367312312()(1)2(1)2aaaaa.故选：D【点睛】本题考查了数列的周期性，利用周期将问题转化为123,,aaa的值进行计算是解题关键，属于中档题.二、多选题7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，