专题7.1 等差数列及求和（原卷版）

专题7.1等差数列及求和题型一基本量的计算题型二等差中项及等差数列项的性质题型三等差数列的判定与证明题型四等差数列前n项和的性质题型五求等差数列前n项和的最值题型六根据等差数列前n项和的最值求参数题型七含绝对值的等差数列的前n项和题型八等差数列的简单应用题型一基本量的计算例1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，24S，238aa，则na的公差为__________.例2．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，若3274aaa，则11S（）A．44B．48C．55D．72练习1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）记nS为等差数列na的前n项和．若32410233SSSa且，则36S_______．练习2．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设nS为等差数列na的前n项和，若152,20aS，则5a（）A．13B．10C．10D．12练习3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，131,18aS，则6S（）A．54B．71C．80D．81练习4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且2123nnnnSSSa，4627aa，434S，则2023是数列na的（）A．第566项B．第574项C．第666项D．第674项练习5．（2023·北京海淀·高三专题练习）设等差数列na的前n项和为nS，若113,2,0mmmSSS，则公差d__________；m__________．题型二等差中项及等差数列项的性质例3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列na中471018aaa，681027aaa，若21ka，则k_______．例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列na中，若12345120aaaaa，则692aa__________.练习6．（2023春·高三课时练习）在等差数列na中，310aa，是方程2350xx的根，则58aa＝________.练习7．（2023春·高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．练习8．（2023·全国·高三专题练习）设nS为正项等差数列na的前n项和．若20232023S，则4202014aa的最小值为（）A．52B．5C．9D．92练习9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）“3752aaa”是“数列na为等差数列”的（）．A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件练习10．（2023·全国·高二题练习）记nS为等差数列na的前n项和，若310mnaa，3218mnaa，则11nnSSnn______．题型三等差数列的判定与证明例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列na满足11a，111nnaan.(1)求证：数列2na为等差数列；(2)设22111nnnnnbaaaa，求数列nb的前n项和nT.例6．（2023·全国·高二专题练习）在数列na中1a4，21122nnnanann，．求证：数列{nan}是等差数列；练习11．（2023春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）已知数列na满足112a，11nnnaaa.(1)设1nnba，证明：nb是等差数列；(2)设数列nan的前n项和为nS，求nS.练习12．（2023春·江西南昌·高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列na前n项和为nS，且211180SS，.(1)若nnSbn，求证：数列nb是等差数列.(2)求数列na的前n项和nT.练习13．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知数列{an}满足111,213nnaaa.(1)证明：数列11na是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项的积为Tn，证明：2221212nTTT.练习14．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，112nnnSSS.(1)若1nS，证明：数列11nS为等差数列.(2)若12a，11000na，求n的最小值.练习15．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列na中，14a，且111332nnnnaaaa.(1)求证：数列23na是等差数列；(2)记数列133nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.题型四等差数列前n项和的性质例7．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列na的前n项和是nS，则下列说法正确的是（）A．若nnSa，则na是等差数列B．若12a，123nnaa，则3na是等比数列C．若na是等差数列，则nS，2nnSS，32nnSS成等差数列D．若na是等比数列，则nS，2nnSS，32nnSS成等比数列例8．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列na，nb的前n项和分别为nS和nT，已知723nnSnTn，则77ab______．练习16．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列na的前n项和记为nS，且510S，1050S，则15S=（）A．70B．90C．100D．120练习17．（2023春·湖北咸宁·高三鄂南高中校考阶段练习）已知数列{}na的前n项和为nS，且2110202,20,10nnnaaaSS，则30S=（）A．0B．10C．20D．30练习18．（2023秋·河南商丘·高三校联考期末）已知等差数列na的前n项和为nS，若数列36396,,,SSSSS的前n项和为263nn，则101a______.练习19．（2023春·全国·高三合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列na的前n项和为nS，若1kS，416kS，则6kS（）A．18B．36C．40D．42练习20．（2023春·高三课时练习）已知nS，nT分别是等差数列na，nb的前n项和，且*31,N1nnSnnTn，则1011318615aabbbb______．题型五求等差数列前n项和的最值例9．（2023春·高三课时练习）在数列na中，若121a，前n项和22nSnbn，则nS的最大值为______．例10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{na}的前n项和为nS，满足954SS，且125a，则当nS取得最小值时，n的值为（）A．4B．5C．6D．7练习21．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为（）A．10B．11C．12D．13练习22．（2023春·高三课时练习）在等差数列na中，14110,aSS，则nS取最大值时n的值是________．练习23．（2023春·四川凉山·高三宁南中学校考阶段练习）记nS为等差数列na的前n项和，已知19a，2410aa，则nS的最小值为（）A．25B．35C．45D．55练习24．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知等差数列na的公差不等于0.其前n为项和为nS，若4a，5S，70,15S，则nS的最大值为（）A．18B．20C．22D．24练习25．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若100S，110S，则下列四个命题正确个数为（）①5S为nS的最小值②60a③10a，0d④6S为nS的最小值A．1B．2C．3D．4题型六根据等差数列前n项和的最值求参数例11．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考期末）（多选）已知等差数列na的前n项和为nS，当且仅当7n时nS取得最大值，则满足0kS的最大的正整数k可能为（）A．12B．13C．14D．15例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列na的前n项和为nS，*3N,nnSS，则65aa的取值范围为___________.练习26．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知na是等差数列，nS是na的前n项和，则“对任意的*nN且3n，3nSS”是“43aa”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件练习27．（2023春·广西钦州·高三钦州一中校考期中）已知数列na为等差数列，若2830aa，670aa，且数列na的前n项和有最大值，那么nS取得最小正值时n为（）A．11B．12C．7D．6练习28．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列na的前n项和为nS，当且仅当7n时，nS取得最大值，则满足0kS的最大的正整数k一定不等于（）A．12B．13C．14D．15练习29．（2023·全国·高三专题练习）记nS为等差数列na的前n项和，且满足：①12nnnSaS；②对*Nn，8nSS．写出一个同时满足上述两个条件的数列na的通项公式na______．练习30．（2023·全国·高三专题练习）记数列na的前n项和为nS，对任意*Nn，有1nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若当且仅当7n时，nS取得最大值，求1a的取值范围．题型七含绝对值的等差数列的前n项和例13．（2023·湖南·校联考二模）记nS为等差数列na的前n项和，14818SS，2100aa．(1)求数列na的通项公式；(2)求1001kka的值．例14．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列na的通项公式为312nan，则123naaaa_________．练习31．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知在等差数列na中，14724aaa，25815aaa.(1)求数列na的通项公式；(2)设nT是数列na的前n项和，求30T.练习32．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知等差数列na的公差为d，数列na的前n项和为nS，且2510,20aS.(1)求数列na的通项公式；(2)求数列2{2}nana的前n项和nT；(3)请直接写出nA123||||||||naaaa的结果.练习33．（2023·全国·高三专题练习）数列na中，18a，42a，且满足21*20N.nnnaaan(1)求数列na的通项公式；(2)设12nnSaaa，求nS．练习34．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）在等差数列na中，680aa，52a，nS为数列na的前n项和，nnSTn，则nT的最小值为__________．练习35．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，其中210a，642S．(1)求数列na的通项；(2)求数列na的前n项和为nT．题型八等差数列的简单应用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）从冬至日起，小寒、