高一数学第二单元函数奇偶性练习题

高一数学第二单元函数奇偶性练习题★★函数奇偶性知识点：1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。3.奇偶函数运算(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数。(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数。(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数。(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数。(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.★★典型例题分析：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1x20，进而判断：F(x1)－F(x2)=－=符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1x2，则－x1－x20因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)0，所以f(－x2)f(－x1)0，①又因为f(x)是奇函数所以f(－x2)=－f(x2)，f(－x1)=f(x1)②由①②得f(x2)f(x1)0于是F(x1)－F(x2)=－例2：已知是定义域为的奇函数，当x0时，f(x)=x|x－2|，求x0时，f(x)的解析式．解：设x0，则－x0且满足表达式f(x)=x|x－2|所以f(－x)=－x|－x－2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)=－f(x)所以－f(x)=－x|x+2|所以f(x)=x|x+2|故当x0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.x)=在(－∞，0)上是减函数。例3：设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．【解析】由f(m)＋f(m－1)0，得f(m)－f(m－1)，即f(1－m)f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴－2≤1－m≤2－2≤m≤21－mm，即－1≤m≤3－2≤m≤2m12，解得－1≤m12.高一数学第二单元函数奇偶性练习题一一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．31a，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝03．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．105．函数1111)(22xxxxxf是A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若)(x，g（x）都是奇函数，2)()(xbgaxf在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3二、填空题7．函数2122)(xxxf的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若11)()(xxgxf，则f（x）的解析式为_______．10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．高一数学第二单元函数奇偶性练习题二一、选择题1．若)(xf是奇函数，则其图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线xy对称2．若函数yfxxR()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yfx()图象上的是（）A．(())afa，B．(())afa，C．(())afa，D．(())afa，3．下列函数中为偶函数的是（）A．xyB．xyC．2xyD．13xy4.如果奇函数)(xf在7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(xf在3,7上是（）A．增函数，最小值是-5B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5D．减函数，最大值是-55.已知函数)(1222)(Rxaaxfxx是奇函数，则a的值为（）A．1B．2C．1D．26.已知偶函数)(xf在],0[上单调递增，则下列关系式成立的是()A．)2()2()(fffB．)()2()2(fffC．)2()2()(fffD．)()2()2(fff二、填空题7．若函数)(xfy是奇函数，3)1(f，则)1(f的值为____________.8．若函数)(xfy)(Rx是偶函数，且)3()1(ff，则)3(f与)1(f的大小关系为________________9．已知)(xf是定义在2,00,2上的奇函数，当0x时，)(xf的图象如右图所示，那么f(x)的值域是.10．已知分段函数)(xf是奇函数，当),0[x时的解析式为2xy，则这个函数在区间)0,(上的解析式为．三、解答题11.判断下列函数是否具有奇偶性：(1)35()fxxxx；(2)2(),(1,3)fxxx；(3)2)(xxf；(4)25)(xxf；(5))1)(1()(xxxf.12．判断函数122xxy的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数222)1(2)(mmxmxxf的图象关于y轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(xf的单调递增区间.能力题14．设fx是定义在R上的偶函数,且在)0,(上是增函数,则2f与223faa（aR）的大小关系是（）A．2f223faaB．2f223faaC．2f223faaD．与a的取值无关若函数322xyO15．已知)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且在公共定义域1,|xRxx上有11)()(xxgxf，求)(xf的解析式.高一数学第二单元函数奇偶性练习题一答案1．解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，xx)(为奇函数，∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·)(x满足奇函数的条件．答案：A2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴31a．故选A．3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．∴,,)0()0()2()2()(xxxxxxxf即f（x）＝x（|x|－2）答案：D4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．答案：B6．解析：)(x、g（x）为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf为奇函数．又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得11)()(xxgxf，联立11)()(xxgxf，∴11)1111(21)(2xxxxf．答案：11)(2xxf10．答案：011．答案：21m12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323xxxxxxxxf点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．高一数学第二单元函数奇偶性练习题二答案一、选择题题号12