高一数学必修一第二章基本初等函数综合素能检测及解析

高一数学必修一第二章基本初等函数综合素能检测及解析第二章基本初等函数综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．函数y＝log12(x－1)的定义域是()A．[2，＋∞)B．(1,2]C．(－∞，2]D.32，＋∞[答案]B[解析]log12(x－1)≥0，∴0x－1≤1，∴1x≤2.故选B.2．(2010·浙江文，2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝()A．0B．1C．1D．3[答案]B[解析]由题意知，f(α)＝log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x1}，B＝{y|y＝(12)x，x1}，则A∩B＝()A．{y|0y12}B．{y|0y1}C．{y|12y1}D．∅[答案]A[解析]A＝{y|y0}，B＝{y|0y12}∴A∩B＝{y|0y12}，故选A.4．(2010·重庆理，5)函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称[答案]D[解析]∵f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．5．(2010·辽宁文，10)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A.10B．10C．20D．100[答案]A[解析]∵2a＝5b＝m∴a＝log2mb＝log5m∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2∴m＝10选A.6．已知f(x)＝f(x＋2)x≤0log12xx0，则f(－8)等于()A．－1B．0C．1D．2[答案]A[解析]f(－8)＝f(－6)＝f(－4)＝f(－2)＝f(0)＝f(2)＝log122＝－1，选A.7．若定义域为区间(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足f(x)0，则实数a的取值范围是()A.32，2B．(2，＋∞)C.32，＋∞D.1，32[答案]B[解析]∵－2x－1，∴0x＋21，又f(x)＝log(2a－3)(x＋2)0，∴2a－31，∴a2.8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是()A．(110，1)B．(0，110)∪(1，＋∞)C．(110，10)D．(0,1)∪(10，＋∞)[答案]C[解析]∵f(x)为偶函数，∴f(lgx)f(1)化为f(|lgx|)f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，∴|lgx|1，∴－1lgx1，∴110x10，选C.9．幂函数y＝xm2－3m－4(m∈Z)的图象如下图所示，则m的值为()A．－1m4B．0或2C．1或3D．0,1,2或3[答案]D[解析]∵y＝xm2－3m－4在第一象限为减函数∴m2－3m－40即－1m4又m∈Z∴m的可能值为0,1,2,3.代入函数解析式知都满足，∴选D.10．(09·北京理)为了得到函数y＝lgx＋310的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度[答案]C[解析]y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1需将y＝lgx图像先向左平移3个单位得y＝lg(x＋13)的图象，再向下平移1个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象，故选C.11．已知log12blog12alog12c，则()A．2b2a2cB．2a2b2cC．2c2b2aD．2c2a2b[答案]A[解析]∵由log12blog12alog12c，∴bac，又y＝2x为增函数，∴2b2a2c.故选A.12．若0a1，则下列各式中正确的是()A．loga(1－a)0B．a1－a1C．loga(1－a)0D．(1－a)2a2[答案]A[解析]当0a1时，logax单调减，∵01－a1，∴loga(1－a)loga1＝0.故选A.[点评]①y＝ax单调减，01－a1，∴a1－aa0＝1.y＝x2在(0,1)上为增函数．当1－aa，即a12时，(1－a)2a2；当1－a＝a，即a＝12时，(1－a)2＝a2；当1－aa，即12a1时，(1－a)2a2.②由于所给不等式在a∈(0,1)上成立，故取a＝12时有loga(1－a)＝log1212＝10，a1－a＝1212＝221，(1－a)2－a2＝122－122＝0，∴(1－a)2＝a2，排除B、C、D，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y＝ax(a0，且a≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大a2，则a的值是________．[答案]22或62.[解析]当a1时，y＝ax在[1,3]上递增，故a3－a＝a2，∴a＝62；当0a1时，y＝ax在[1,3]上单调递减，故a－a3＝a2，∴a＝22，∴a＝22或62.[点评]指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．14．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．[答案][2，4][解析]∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，∴12≤2x≤2，∴y＝f(x)的定义域是12，2，由12≤log2x≤2得，2≤x≤4.15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．[答案](－1，32][解析]函数y＝lg(4＋3x－x2)的增区间即为函数y＝4＋3x－x2的增区间且4＋3x－x20，因此所求区间为(－1，32]．16．已知：a＝xm，b＝xm2，c＝x1m，0x1,0m1，则a，b，c的大小顺序(从小到大)依次是__________．[答案]c，a，b[解析]将a＝xm，b＝xm2，c＝x1m看作指数函数y＝xP(0x1为常数，P为变量)，在P1＝m，P2＝m2，P3＝1m时的三个值，∵0x1，∴y＝xP关于变量P是减函数，∵0m1，∴m2m1m，∴xm2xmx1m；∴cab.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在同一坐标系中，画出函数f(x)＝log2(－x)和g(x)＝x＋1的图象．当f(x)g(x)时，求x的取值范围．[解析]f(x)与g(x)的图象如图所示；显然当x＝－1时，f(x)＝g(x)，由图可见，使f(x)g(x)时，x的取值范围是－1x0.18．(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来．340，2334，－323，32－45，－433，log2332，log143，log34，log35，log142.[分析]先区分正负，正的找出大于1的，小于1的，再比较．[解析]首先340＝1；2334、32－45∈(0,1)；log35、log34都大于1；log2332＝－1；－323，－433都小于－1，log142＝－12，－1log1430.(1)32－45＝2345，∵y＝23x为减函数，3445，∴23342345＝32－45；(2)∵y＝x3为增函数，－32－43－1，∴－323－433－1；(3)y＝log14x为减函数，∴－12＝log142log143log144＝－1；(4)y＝log3x为增函数，∴log35log34log33＝1.综上可知，－323－433log143log14232－452334340log34log35.19．(本题满分12分)已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝ax(a1)，若不等式f(x)≤4的解集为[－2,2]，求a的值．[解析]当x0时，－x0，f(－x)＝a－x，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝a－x，∴f(x)＝axx≥01axx0，∴a1，∴f(x)≤4化为x≥0，ax≤4，或x01ax≤4，∴0≤x≤loga4或－loga4≤x0，由条件知loga4＝2，∴a＝2.20．(本题满分12分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f(x)的图象．(1)f(x)的定义域为[－2,2]；(2)f(x)是奇函数；(3)f(x)在(0,2]上递减；(4)f(x)是既有最大值，也有最小值；(5)f(1)＝0.[解析]∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，∵f(x)的定义域为[－2，2]，∴f(0)＝0，由f(x)在(0,2]上递减知f(x)在[－2,0)上递减，由f(1)＝0知f(－1)＝－f(1)＝0，符合一个条件的一个函数的图象如图．[点评]符合上述条件的函数不只一个，只要画出符合条件的一个即可，再结合学过的一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单的为一次函数．下图都是符合要求的．21．(本题满分12分)设a0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．[解析](1)依题意，对一切x∈R有f(－x)＝f(x)成立，即exa＋aex＝1aex＋aex，∴a－1aex－1ex＝0，对一切x∈R成立，由此得到a－1a＝0，∴a2＝1，又a0，∴a＝1.(2)设0x1x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋1ex1－1ex2＝(ex2－ex1)0∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．22．(本题满分14分)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)[解析](1)设各投资x万元时，A产品利润为f(x)万元，B产品利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，由图知f(1)＝14，∴k1＝14，又g(4)＝52，∴k2＝54，从而：f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54x(x≥0)．(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元；设企业利润为y万元．y＝f(x)＋g(10－x)＝x4＋5410－x(0≤x≤10)，令10－x＝t，则0≤t≤10，∴y＝10－t24＋54t＝－14(t－52)2＋6516(0≤t≤10)，当t＝52时，ymax＝6516≈4，此时x＝10－254＝3.75.∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元．