第九章期权定价理论

1第九章期权定价理论2第一节期权价格的构成金融期权的价值分析权利金、内在价值、时间价值三者之间的关系期权价格的影响因素期权价格的上、下限看涨期权与看跌期权之间的平价关系3一、金融期权的价值分析金融期权价格主要由两个部分构成：内在价值时间价值4１．期权内在价值期权的内在价值内在价值，又称内涵价值，是指在履行期权合约时可获得的总利润，当总利润小于零时，内在价值为零。内在价值反映了期权合约中预先约定的协定价格与相关基础资产市场价格之间的关系。其计算公式为：式中，IV——内涵价值；S——标的资产的市价；X——协定价格。在看跌期权中在看涨期权中SXXSIV5按照有无内涵价值，期权可呈现三种状态：实值期权(ITM)平价期权(ATM)虚值期权(OTM)6我们把S＞X的看涨期权称为实值期权，把S＜X的看涨期权称为虚值期权；把S=X的看涨期权称为平价期权。同样，我们把X＞S的看跌期权称为实值期权，把X＜S的看跌期权称为虚值期权；把X=S的看跌期权称为平价期权。实值期权的内在价值大于零，而虚值期权和平价期权的内在价值均为零。7２．期权的时间价值期权的时间价值是指期权买方随着期权时间的延续和相关商品价格的变动有可能使期权增值时，愿意为购买这一期权所付出的权利金额。期权的时间价值还取决于标的资产市价与协定价格之间的差额的绝对值。当差额为零，期权的时间价值最大。当差额的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，具体如下所示。8期权的时间价值与S与X差额之间的关系S与X的差额9二、权利金、内在价值、时间价值三者之间的关系期权合约的权利金是由期权价值所决定的，即由内涵价值和时间价值所决定。三者之间的关系可用下图来表示。从静态的角度看，期权价值(权利金)在任一时点都是由内涵价值和时间价值两部分组成的。从动态的角度看，期权的时间价值在衰减，伴随合约剩余有效期的减少而减少，期满时时间价值为零，权利金全部由内涵价值组成。10看涨期权中权利金、内涵价值、时间价值三者变动关系示意图11期权价格的影响因素：♥标的资产的市场价格与期权的协议价格；♥期权的有效期；♥标的资产价格的波动率；♥无风险利率；♥标的资产的收益。三、期权价格的影响因素12看涨期权价格的上限在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：其中，c代表欧式看涨期权价格；C代表美式看涨期权价格；S代表标的资产价格。四、期权价格的上、下限SCSc和13看跌期权价格的上限由于美式看跌期权可以在到期日前的任意日期执行，因此其多头执行期权的最高价值为协议价格（X）。那么，美式看跌期权价格（P）的上限就应该是协议价格(X)：由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，当标的物市场价格为0的时候，期权多头方可以获得最大价值——执行价格(X)。因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值:其中，r代表T时刻到期的无风险利率；t代表现在时刻。)(etTrXpXP14期权价格的下限欧式看涨期权价格的下限无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限，我们考虑如下三个投资工具：工具A：一份欧式看涨期权c工具B：金额为Xe-r（T-t）的现金工具C：一单位标的资产ST15根据分析有如下公式：c+Xe-r(T-t)≥Sc≥S-Xe-r(T-t)由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：]0,emax[)(tTrXSc期权价格的下限16期权价格的上、下限有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述工具B的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限)(etTrXD]0,emax[)(tTrXDSp17期权价格的下限欧式看跌期权价格的下限无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合A：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为Xe-r（T-t）的现金18期权价格的下限假定组合B的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合B的价值为X。由于组合A的价值在T时刻大于等于组合B，因此组合A的价值在t时刻也应大于等于组合B，即：由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：SXpXSptTrtTr)()(ee]0,emax[)(SXptTr19期权价格的下限有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合B的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：p≥max[D+Xe-r(T-t)－S，0]20期权价格的下限美式看涨期权价格的下限无收益资产美式看涨期权价格的下限提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：由于r0，所以Cmax(S－X,0)有收益资产的美式看涨期权下限由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：C≥c≥max[S－D－Xe-r(T-t)，0]21期权价格的下限美式看跌期权价格的下限无收益资产美式看跌期权一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。由于美式期权可提前执行，因此其下限更为严格：P≥X－S有收益资产的美式看跌期权由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。因此其下限为：P≥max(D＋X－S,0)22五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系在期权市场，市场参与者（套利者）之间的相互作用和看涨期权—看跌期权之间的平价关系能够造就相对公平的价格。看涨期权—看跌期权之间的平价关系使期权之间、期权与标的物之间的价格达到均衡关系。因此，具有相同标的物、协定价格和到期日的看涨期权与看跌期权之间存在一定的价格关系。23看涨期权与看跌期权之间的平价关系欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1.无收益资产的欧式期权考虑有两种投资组合方式：组合A：一份欧式看涨期权c加上金额为Xe-r（T-t）的现金组合B：一份欧式看跌期权p加上标的股票ST通过分析我们可以发现，无论ST与X大小关系如何，组合A的价值和组合B的价值都相等，因此有下面的公式：c＋Xe-r（T-t）＝p＋S2.有收益资产欧式期权c＋D＋Xe-r（T-t）＝p＋S24看涨期权与看跌期权之间的平价关系美式看涨期权和看跌期权之间的平价关系1.无收益资产美式期权由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合下面的不等式。S－X＜C－P＜S－Xe-r（T-t）2.有收益资产美式期权同样，我们只要把现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：S－D－X＜C－P＜S－D－Xe-r（T-t）25第二节布莱克—斯科尔斯模型自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，人们就一直致力于对期权定价问题的探讨。但在1973年之前，这种探讨始终没有得出令人满意的结果，其中一个最难解决的问题是无法适当地描述期权标的物的价格波动性及其对期权价格的影响，1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯发表了《期权定价与公司负债》一文，提出了有史以来的第一个期权定价模型，在学术界和实务界引起了强烈的反响。26一、布莱克—斯科尔斯模型的假设条件布莱克—斯科尔斯模型共有七个假设条件：(1)期权的基础资产是股票，该股票允许被自由地买进或卖出；(2)期权是欧式是看涨期权，在期权有效期内其基础资产不存在现金股利的支付；(3)市场不存在交易成本和税收，所有证券均完全可分割；(4)市场不存在无风险的套利机会；(5)市场提供了连续交易的机会；(6)存在着一个固定的、无风险的利率，投资者可以此利率无限制地借入或贷出；(7)27二、现货看涨期权的定价模型在上述假设条件下，布莱克和斯科尔斯得出如下适用于现货看涨期权的定价模型：C=SN(d1)-Xe-rTN(d2)其中：d1=[ln(s/x)+(r+σ2/2)T]/σT0.5d2=d1-σT0.5C—看涨期权的价格；S—标的资产的现行价格；X—期权的协定价格；r—瞬间的无风险利率；T—以年表示的期权期间的长短（即折算为年的目前至期权到期日的时间）；ln（·）—自然对数；e—自然对数之底的近似值（2.71828）；σ—标的物价格的波动性；N（·）—累积正态分布函数。28现货看涨期权的定价模型假设年利率为20％，有效期限为半年，敲定价格为$105，股票现行价格为$100，股票价格波动率为5%。那么，该股票欧式看涨期权的价格为多少？显然，S0＝1OO，X＝105，r＝0.20，t＝0.50，σ＝0.05用公式计算：d1=1.47；d2=1.43查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积—累积概率）：N(d1)=N(1.47)=0.9292；N(d2)=N(1.43)=0.9236用公式计算：C=$5.1729三、期货看涨期权的定价模型为了说明期货看涨期权的定价，布莱克将现货看涨期权的定价公式进行了修正，得出了期货看涨期权的定价公式：C=[FN(d1)-XN(d2)]e-rTd1=[ln(F/X)+σ2/2T]/σT0.5d2=d1-σT0.5其中,F为期货价格；其他的符号均与上述相同。根据这一模型，我们可以得出期货价格的波动性对期货看涨期权的价格的影响。在一极端情况下，期货价格在整个期权期间内毫无波动，即σ＝0，则N(d1)和N(d2)均等于1，所以，C=（F-X）e-rT。很显然，在标的期货的价格稳定不变的条件下，看涨期权的价格是无风险利率贴现的内在价值的现值。30四、看跌期权的定价模型以上所讲的布莱克—斯科尔斯模型只适用于看涨期权，而不能适用于看跌期权。然而通过看跌期权与看涨期权的平价关系，我们就可用看涨期权的价格推算出相同标的物、相同期权期间和相同协定价格的看跌期权的价格。所谓看跌期权与看涨期权的平价关系是指看跌期权的价格与看涨期权的价格必须维持在无套利机会的均衡价格水平的价格关系。如果这一关系被打破，则在这两种价格之间，就存在着无风险的套利机会，于是，套利者将通过套利行为，从而把那种不正常的价格关系拉回到正常水平。在第一节中，我们已经知道，通过等式转换可以得到：rTXscpe31看跌期权的定价模型得出适用于计算现货看跌期权价格的布莱克—斯科尔斯模型：p=C-S+Xe-rT=SN(d1)-Xe-rTN(d2)-S+Xe-rT=S[N(d1)-1]+Xe-rT[1-N(d2)]上述看涨期权与看跌期权的平价关系只适用于现货期权。32看跌期权的定价模型对期货期权来说，看涨期权与看跌期权的平价关系为：P=C+PV(X-F)=C+(X-F)e-rT=C+Xe-rT-Fe-rT其中，F为期货价格。只是以Fe-rT代替了S。则我们可以得到适用于计算期货看跌期权价格的布莱克—斯科尔斯模型：P＝C+Xe-rT-Fe-rT＝［FN(d1)－XN(d2)］e-rT+Xe-rT-Fe-rT＝FN(d1)e-rT－XN(d2)e-rT＋Xe-rT-Fe-rT＝Xe-rT［1－N(d2)］＋Fe-rT［N(d1)－1］33第三节二叉树定价方法布莱克—斯科尔斯模型的提出，对期权定价问题的研究而言，是一个开创性的成就。但它在实务中的运用受到了很大的限制。有鉴于此，考克斯、罗斯和鲁宾斯坦于1979年发表了《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种较浅显的方法导出了期权定价模型。他们的这一模型被称为二项式模型。34一、一期间模型如果我们假设，购买一股当前交易价格为S的基础股票，离期权到期日只有一期，在期权到期日，基础股票价格既可能上涨到原来的u倍，也可能下跌到原来的d倍，这两种可能性（即概率）分别为P和（1－P）。p