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第三章---平面任意力系•平面任意力系向作用面内一点的简化•平面任意力系的平衡条件和平衡方程•物体系统的平衡·静定和超静定问题•平面简单桁架的内力计算1.力线平移定理定理:可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B,但必须同时附加一个力偶,这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力线平移定理的逆步骤,亦可把一个力和一个力偶合成一个力。一、平面任意力系向作用面内一点简化ABMABF′F′F″FABF==①力的平移定理揭示了力与力偶的关系:力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶m,且m与d有关,m=F•d③力的平移定理是力系简化的理论基础。说明:OxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′2.平面任意力系向一点简化----主矢与主矩1122nnFFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFF2.平面任意力系向一点简化----主矢与主矩1212nRniFFFFFFFF平面汇交力系力,FR′(主矢,作用在简化中心)平面力偶系力偶,MO(主矩,作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中:平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMMFFFF平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。22()()RxyFFF2.平面任意力系向一点简化----主矢与主矩XYxRyRFFFF11tantan原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说,主矩与简化中心的位置有关。2.平面任意力系向一点简化----主矢与主矩平面任意力系向作用面内任一点O简化,可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关,主矩和简化中心的位置有关。nionOOOOMMMMM121)()(......)()(iFFFF3.平面任意力系简化结果分析四种情况:(1)F’R=0,MO≠0;(2)F’R≠0,MO=0;(3)F’R≠0,MO≠0;(4)F’R=0,MO=0(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。()OOMMFF4F1F2F3ABCD四个力是否平衡?F'R=0,MO≠0(2)平面任意力系简化为一个合力的情形--合力矩定理如果主矩等于零,主矢不等于零,则此时平面力系简化为一合力,作用线恰好通过简化中心。如果主矢和主矩均不等于零,此时还可进一步简化为一合力,但其作用线不过简化中心。如图:OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′ORMdF3.平面任意力系简化结果分析()ORROMFdMF()OOiMMF结论:平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO′从图中可以看出所以由主矩的定义知:()()OROiMMFF3.平面任意力系简化结果分析[例1]在长方形平板的O,A,B,C点上分别作用着有四个力:F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN(如图),试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果,以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°求向O点简化结果xxFFR30cos60cos432FFFkN598.0解:建立如图坐标系xOy。yyFRF30sin60sin421FFFkN768.0kN794.02R2RRyxFFFF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°所以,主矢的大小1.求主矢。RF2.求主矩MOFOOMMmkN5.030sin3260cos2432FFF614.0cosRRRFFxi,F789.0,cosRRRFFyjF1.52Ri,F9.37Rj,F主矢的方向:yOABCxMORFF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°最后合成结果m51.0RFMdO由于主矢和主矩都不为零,所以最后合成结果是一个合力FR。如图所示。合力FR到O点的距离RRFFFROABCxyMORFFROABCxy00ROMF22()()()RxyOOiFFFMMF二、平面任意力系的平衡条件和平衡方程1.平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是:力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即:22()(),()RxyOOiFFFMMF2.平衡方程即:平面任意力系平衡的解析条件是:力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零,所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。00()0xiyiOiFFMF由于所以二、平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1)二矩式0()0()0xABFMMFF其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知:力系不可能简化为一力偶,只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件,若AB连线不垂直于x轴(或y轴),则力系必平衡。3.平衡方程的其它形式(2)三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意:以上格式分别有三个独立方程,只能求出三个未知数。由前面两式知:力系不可能简化为一力偶,只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡,再加第三条件,力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡,若三点不在同一直线上,则力系必平衡。例2[例2]求图示梁的支座反力。解:以梁为研究对象,受力如图。0:cos0xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMFaPabmF解之,得:cosAxFPsin()BmPabFasinAymPbFaABCPabmABCPmRBRAyRAx[例3]:简支梁受力如图,已知F=300N,q=100N/m,求A,B处的约束反力。FqABCD2m2m4m解:简支梁受力如图所示:BRAyRAxR00AxxRF0AM02648FqRBNRB375NRAy3250yF104qFRRBAy代入(1)式0,0XAXRF由022;0)(aPmaaqaRFmBA0YF0PqaRRBYA)kN(122028.01628.02022PamqaRB)kN(24128.02020BYARqaPR[例4]已知:P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m。求:A、B的支反力。解:研究AB梁解得:[例5]如图所示为一悬臂梁,A为固定端,设梁上受强度为q的均布载荷作用,在自由端B受一集中力F和一力偶M作用,梁的跨度为l,求固定端A的约束力。ABlqFM452.列平衡方程045cos,0FFFAxx045sin,0FqlFFAyy045cos2,0MlFlqlMFMAA707.045cosFFFAx707.0FqlFAy707.0212MFlqlMA3.解方程1.取梁为研究对象,受力分析如图解:ABlqFM45qABxy45MFFAyMAlFAx例3[例6]悬臂吊车如图所示。横梁AB长l=2.5m,重量P=1.2kN,拉杆CB的倾角=30°,质量不计,载荷Q=7.5kN。求图示位置a=2m时,拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例3解:取横梁AB为研究对象。ABEHPQSBRAyRAxa0xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa从(3)式解出1()13.2kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。Oxy平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况,当它平衡时,也应满足平面任意力系的平衡方程,选如图的坐标,则∑Fx=0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为:0;()0yOFMF平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式:()0;()0ABMMFF其中AB连线不能与各力的作用线平行。4.平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn[例7]已知:塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量),尺寸如图。求:①保证满载和空载时不致翻倒,平衡块Q=?②当Q=180kN时,求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力?0)(FmB(62)2(122)(22)0APQWN0ANkN75Q限制条件:解:⑴首先考虑满载时,起重机不向右翻倒的Q:②空载时,W=0由0)(FmA0)22(2)26(BNPQ限制条件为:0BN解得kN350Q因此保证空、满载均不倒,Q应满足如下关系:kN350kN75Q解得:04)212(2)26(BNWPQ0)(FmA0yiF0BANNWPQ210kN870kNABNN⑵求当Q=180kN,满载W=200kN时,NA,NB为多少?由平面平行力系的平衡方程可得:解得:以上讨论的都是单个物体的平衡问题。下面就来介绍有关物系的平衡问题。由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统,简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时,系统内每个物体都平衡。反之,系统中每个物体都平衡,则系统必然平衡。而对于物体系统的平衡问题,其要点在于如何正确选择研究对象,一旦确定了研究对象,则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。因此,当研究物体系统的平衡时,研究对象可以是整体,也可以是局部,也可以是单个物体。三、物系的平衡下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题。NANB[例8]图示的人字形折梯放在光滑地面上。重P=800N的人站在梯子AC边的中点H,C是铰链,已知AC=BC=2m;AD=EB=0.5m,梯子的自重不计。求地面A、B两处的约束反力和绳DE的拉力。DHAPCEBPDHACEB75°75°yx解:(1)先取梯子整体为研究对象。受力图及坐标系如图所示。由ΣMA(F)=0,得:NB(AC+BC)cos75º-P•ACcos75º/2=0解得NB=200N由ΣFy=0,NA+NB-P=0;解得NA=600NNB(2)为求绳子的拉力,取其所作用的杆BC为研究对象。受力图如图所示。CEBTERCyRCx由ΣMC(F)=0,得:NB•BC•cos75º-TE•EC•sin75º=0解得TE=71.5N∴TD=71.5N12kNRCRByRBxq=3kN/m12kNABCD6m2m2m2mBC2m2mR'BYR'BxRDq=3kN/mRAA2m6mDB[例9]求图示结构的支座反力。(1)受力分析,画物体系统的受力图和关键构件的受力图;0BXR012CBYRRKNRBY6由∑MB=0:04212CRKNRC6(2)选择BC杆为研究对象:由∑Fy=0:由∑Fx=0:RDq=3kN/mRAA2m6mDBR'BYR'Bx063DBYARRRKNRA7由∑Fy=0:由∑MA=0:068363DBYRRKNRD17(3)选择AB杆为研究对象:注意作用与反作用关系,所以:0BXBXRRKNRRBYBY6例4[
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