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学习帮助热线:4006-3456-99-1-最大值和最小值一、填空题1.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m,则M-m=________.2.函数f(x)=sin2x在[-π4,0]上的最大值是________,最小值是________.3.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值是________,最小值是________.4.设y=|x|3,那么y在区间[-3,-1]上的最小值是__________.5.函数f(x)=3x2+4x+3x2+1的值域为________.6.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a12),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于________.7.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为________.8.函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=________.9.对于函数f(x)=x3+32x2,x≤0x2-2x+12,x0,有下列命题:①过该函数图象上一点(-2,f(-2))的切线的斜率为6;②函数f(x)的最小值等于-12;③该方程f(x)=0有四个不同的实数根;④函数f(x)在(-1,0)以及(1,+∞)上都是减函数.其中正确的命题有________.二、解答题10.设23a1,函数f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1,最小值为-62.求常数a,b.11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l不过第四象限学习帮助热线:4006-3456-99-2-且斜率为3,坐标原点到切线l的距离为1010,若x=23时,y=f(x)有极值.(1)求a、b、c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.12.已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.(1)求函数f(x)的极值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.学习帮助热线:4006-3456-99-3-答案1解析:f′(x)=3x2-12=0,解得x=±2.又f(3)=-1,f(-3)=17,f(2)=-8,f(-2)=24,所以M=24,m=-8,所以M-m=32.答案:322解析:∵x∈[-π4,0],∴sinx∈[-22,0].∴sin2x∈[0,12].答案:1203解析:f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=-1或x=1(舍去).列出f′(x),f(x)随x的变化情况表:x-3(-3,-1)-1(-1,0)0f′(x)+0-f(x)-1731∴f(x)max=3,f(x)min=-17.答案:3-174解析:只需研究函数y=x3在[1,3]上的最小值即可,显然最小值等于1.答案:15答案:[1,5]6解析:∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f′(x)=1x-a,令f′(x)=0得x=1a,又a12,∴01a2.令f′(x)0,则x1a,∴函数f(x)在(0,1a)上递增;令f′(x)0,则x1a,∴函数f(x)在(1a,2)上递减,∴f(x)max=f(1a)=ln1a-a·1a=-1,∴ln1a=0,得a=1.答案:17解析:∵f(x)=x-x3,∴f′(x)=1-3x2,由f′(x)=0得x=±33.因为f(0)=0,f(1)=0,f(33)=33(1-13)=239,所以f(x)的最大值为239.答案:2398解析:若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥3x2-1x3.设g(x)=3x2-1x3,则g′(x)=-2xx4,学习帮助热线:4006-3456-99-4-所以g(x)在区间(0,12]上单调递增,在区间[12,1]上单调递减,因此g(x)max=g(12)=4,从而a≥4;当x0,即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤3x2-1x3,g(x)=3x2-1x3在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上,a=4.答案:49解析:当x≤0时,f′(x)=3x2+3x,所以f′(-2)=6,故①正确;画出函数f(x)的大致图象,如图所示,可得②错误,③正确,④错误.答案:①③10解:令f′(x)=3x2-3ax=0,得x1=0,x2=a.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f′(x)+0-0+f(x)-1-32a+bb-a32+b1-32a+b从上表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),又f(1)f(-1),故需比较f(0)与f(1)的大小.因为f(0)-f(1)=32a-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,所以b=1.又f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-32a+b=-32a,由-32a=-62,得a=63,所以a=63,b=1.11解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①当x=23时,y=f(x)有极值,则f′(23)=0,可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=2,b=-4.设在点x=1处的切线l的方程为y=3x+m,由坐标原点到切线l的距离为1010,得|m|32+1=1010,解得m=±1.∵切线l不过第四象限,∴m=1.由于切点的横坐标为1,∴f(1)=4,即1+a+b+c=4,∴c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴f′(x)=3x2+4x-4.令f′(x)=0,得x1=-2,x2=23.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x[-3,-2)-2(-2,23)23(23,1]f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增学习帮助热线:4006-3456-99-5-∴f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13;在x=23处取得极小值f(23)=9527,又f(-3)=8,f(1)=4.∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为9527.12解:(1)f′(x)=3x2+4x+1,令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=-13.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,-13)-13(-13,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;当x=-13时,f(x)取得极小值为-11227.(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,F(x)≥0,在[0,+∞)上恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).若2-a≥0,即a≤2,显然F(x)min=40;若2-a0,即a2,f′(x)=3x2+(4-2a)x,令f′(x)=0,解得x=0或x=2a-43.当0x2a-43时,f′(x)0;当x2a-43时,f′(x)0.所以,当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(2a-43)≥0,即(2a-43)3+(2-a)(2a-43)2+4≥0.解不等式得a≤5,∴2a≤5.当x=0时,F(x)=4满足题意.综上所述,a的取值范围为(-∞,5].
本文标题:高二数学最大值和最小值
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