高中数学教学论文点击圆锥曲线中的最值问题

用心爱心专心1点击圆锥曲线中的最值问题最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一．求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x2的焦点为F（0，41），准线为y=41，过A、B、M准线y=41的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+43=21(AA1+BB1)+43=21(AF+BF)+43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值411，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。二．求角的最值例2．M，N分别是椭圆12422yx的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠MPN的最大值是.解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是22x，点)0)(,22(00yyP，直线PM和PN倾斜角分别为和.∵)0,2(),0,2(NM∴,232220tan00yykPM22220tan00yykPN于是)tan(tanMPN2321232tantan1tantan0000yyyy33622262262200200yyyy∵)2,0[MPN∴6MPN即∠MPN的最大值为6.评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M和F分别是椭圆192522yx上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值.⑵求45|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425.⑴|MF|+|MB|=10―|MF′|+|MB|=10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―210.故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M作右准线x=425的垂线，垂足为H，则54||||eMHMF||54|H|MFM.于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417.可见，当且仅当点B、M、H共线时，45|MF|+|MB|取最小值417.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。例4．点P为双曲线1422yx的右支上一点，M，N分别为1)5(22yx和1)5(22yx上的点，则PM－PN的最大值为.解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点)0,5(1F和用心爱心专心2右焦点)0,5(2F.对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交⊙F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是00PNPMPNPM)1()1(21PFPF6242)(21PFPF故PM－PN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例5．已知e1，e2分别是共轭双曲线12222byax和12222byax的离心率，则e1+e2的最小值为.解析：,12222221ababae22222221babbae)1)(1(44)(222221221baabeeee8224)(242222baab考虑到021ee，故得2221ee.即e1+e2的最小值为22.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6．已知平面内的一个动点P到直线334:xl的距离与到定点)0,3(F的距离之比为332，点)21,1(A，设动点P的轨迹为曲线C.⑴求曲线C的方程；⑵过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.解析：⑴设动点P到l的距离为d，由题意23dPF根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.∵23,3acec,可得,2a∴134222cab故椭圆C的方程为：1422yx⑵若直线l存在斜率，设其方程为,kxyl与椭圆C的交点),,(11yxM),(22yxN将y=kx代入椭圆C的方程1422yx并整理得04)41(22xk.∴22121414,0kxxxx于是2212))(1(||xxkMN]4))[(1(212212xxxxk222241144116)1(kkkk又点A到直线l的距离21|21|kkd故△MAN的面积241|12|||21kkdMNS从而2222414141)12(kkkkS①当k=0时，S2=1得S=1②当k0时，S21得S1③当k0时，24241)4()1(412kkS得2S若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2.于是△MAN的面积11221S.综上，△MAN的最大值为2.评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由△≥0求得面积S的最大值。五.求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为92222ayax=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0，由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－90,∴a2≥45,故amin=35，得（2a）min=65,用心爱心专心3此时椭圆方程为1364522yx.解法2：设椭圆92222ayax=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,sin92a)，则acosα―sin92a+9=0有解.∵)cos(922a=―9cos(α+)=9292a，∴|9292a|1922a≥9a2≥45,∴amin=35，得（2a）min=65,此时椭圆的方程1364522yx.解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|≥|FF2|=65，于是(2a)min=65,此时易得：a2=45,b2=36，于是椭圆的方程为1364522yx.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。