2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析-专题53-圆锥曲线常见题型解

第53讲：圆锥曲线常见题型解法【考纲要求】（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质④了解圆锥曲线的简单应用⑤理解数形结合的思想（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。【变式演练1】双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为错误!未找到引用源。的直线交于双曲线P，Q两点，若错误!未找到引用源。，求双曲线方程。题型二圆锥曲线的几何性质解题方法利用圆锥曲线的几何性质解答。例2已知椭圆错误!未找到引用源。，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为()A.5＋12B.5－12C.5＋14D.5－14解：因为AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，即ba·－bc＝－1，即b2＝ac，所以a2－c2＝ac，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，所以e＝－1±52(舍负)，故选B.【方法点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于错误!未找到引用源。的方程。【变式演练2】已知椭圆错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。有公共的焦点，错误!未找到引用源。的一条渐近线与以错误!未找到引用源。的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若错误!未找到引用源。恰好将线段AB三等分，则()A．错误!未找到引用源。＝132B．错误!未找到引用源。＝13C．错误!未找到引用源。＝12D．错误!未找到引用源。＝2题型三圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答。例3已知错误!未找到引用源。+4(y-1)2=4，求：(1)错误!未找到引用源。+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．（2）分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入错误!未找到引用源。+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．令x+y=u，则有x=u-y,代入错误!未找到引用源。+4(y-1)2=4得：5错误!未找到引用源。-(2u+8)y+错误!未找到引用源。=0．又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×错误!未找到引用源。≥0．∴错误!未找到引用源。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为错误!未找到引用源。，求△AOB面积的最大值。题型四圆锥曲线的范围问题解题方法一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答。例4已知椭圆错误!未找到引用源。的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点错误!未找到引用源。，向量错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。分别是左、右焦点，求∠错误!未找到引用源。的取值范围；【方法点评】由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.【变式演练4】设错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。分别是椭圆错误!未找到引用源。的左、右焦点。（Ⅰ）若错误!未找到引用源。是该椭圆上的一个动点，求错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点错误!未找到引用源。的直线错误!未找到引用源。与椭圆交于不同的两点错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，且∠错误!未找到引用源。为锐角（其中错误!未找到引用源。为坐标原点），求直线错误!未找到引用源。的斜率错误!未找到引用源。的取值范围。题型五直线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答。例5已知双曲线错误!未找到引用源。，经过点错误!未找到引用源。能否作一条直线错误!未找到引用源。，使错误!未找到引用源。与双曲线交于错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，且点错误!未找到引用源。是线段错误!未找到引用源。的中点。若存在这样的直线错误!未找到引用源。，求出它的方程，若不存在，说明理由。故直线错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。消去错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。这说明直线错误!未找到引用源。与双曲线不相交，故被点错误!未找到引用源。平分的弦不存在，即不存在这样的直线错误!未找到引用源。。在一点E(错误!未找到引用源。,0)，使得错误!未找到引用源。是等边三角形，若存在，求出错误!未找到引用源。；若不存在，请说明理由。题型六圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式和数形结合解答。例6已知曲线错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。有公共点,求实数a的取值范围．可得：错误!未找到引用源。=2(1-a)y+错误!未找到引用源。-4=0．∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴错误!未找到引用源。.如图2－47，可知：椭圆中心错误!未找到引用源。,半轴长错误!未找到引用源。,抛物线顶点为错误!未找到引用源。,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时,错误!未找到引用源。.综上所述,当错误!未找到引用源。时,曲线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。相交.【变式演练6】设椭圆22122:1(0)xyCabab，抛物线222:Cxbyb。（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；（2）设A（0，b），5334Q，,又M、N为1C与2C不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为34Bb0，，且△QMN的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程。题型七圆锥曲线的定点和定值问题解题方法过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了。例7在直角坐标系错误!未找到引用源。中，点M到点错误!未找到引用源。的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线错误!未找到引用源。与轨迹C交于不同的两点P和Q.（I）求轨迹C的方程；（II）当错误!未找到引用源。时，求k与b的关系，并证明直线错误!未找到引用源。过定点.解：（1）错误!未找到引用源。的距离之和是4，错误!未找到引用源。的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为错误!未找到引用源。的椭圆，其方程为错误!未找到引用源。…………3分（2）将错误!未找到引用源。，代入曲线C的方程，整理得错误!未找到引用源。…………5分因为直线错误!未找到引用源。与曲线C交于不同的两点P和Q，所以错误!未找到引用源。①设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。②…………7分即错误!未找到引用源。经检验，都符合条件①当b=2k时，直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。显然，此时直线错误!未找到引用源。经过定点（-2，0）点.即直线错误!未找到引用源。经过点A，与题意不符.当错误!未找到引用源。时，直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。显然，此时直线错误!未找到引用源。经过定点错误!未找到引用源。点，且不过点A.综上，k与b的关系是：错误!未找到引用源。且直线错误!未找到引用源。经过定点错误!未找到引用源。点【方法点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点。【变式演练7】在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)错误!未找到引用源。为定值.错误!未找到引用源。又错误!未找到引用源。点在抛物线上，则错误!未找到引用源。．整理得错误!未找到引用源。为所求轨迹方程．【方法点评】点P之所以在动，就是因为点B在动，所以点P是被动点，点B是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程。【变式演练8】已知△ABC的顶点错误!未找到引用源。，顶点错误!未找到引用源。在抛物线错误!未找到引用源。上运动，求错误!未找到引用源。的重心错误!未找到引用源。的轨迹方程．题型九存在性问题解题方法一般先假设存在，再探求，最后检验。例9已知中心在原点，焦点在错误!未找到引用源。轴上的椭圆C的离心率为错误!未找到引用源。，且经过点错误!未找到引用源。，过点P（2，1）的直线错误!未找到引用源。与椭圆C在第一象限相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求直线错误!未找到引用源。的方程以及点M的坐标；（3））是否存过点P的直线错误!未找到引用源。与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足错误!未找到引用源。？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为错误!未找到引用源。，由题意得错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。，故椭圆C的方程为错误!未找到引用源。.……………………4分（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。.①因为直线错误!未找到引用源。与椭圆相切，所以错误!未找到引用源。整理，得错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。[所以直线l方程为错误!未找到引用源。将错误!未找到引用源。代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为错误!未找到引用源。…………9分（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为错误!未找到引用源。，代入椭圆C的方程得错误!未找到引用源。因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。因为A，B为不同的两点，所以错误!未找到引用源。.于是存在直线错误!未找到引用源。1满足条件，其方程为错误!未找到引用源。1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：错误!未找到引用源。（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A.错误!未找到引用源。B。错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，所以PQ的垂直平分线方程为：错误!未找到引用源。，令错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。。故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线错误!未找到引用源。的中心在原点，焦点在错误!未找到引用源。轴上，错误!未找到引用源。与抛物线错误!未找到引用源。的准线交于错误!未找到引用源。两点，错误!未找到引用源。；则错误!未找到引用源。的实轴长为（）错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。3.【2012高考真题新课标理4】设12FF是椭圆错误!未找到引用源。的左、右焦点，错误!未找到引用源。为直线32ax上一点，错误!未找到引用源。是底角为30的等腰三角形，则错误!未找到引用源。的离心率为（）错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。【解析】因为错误!未找到引用源。是底角为30的等腰三角形，则有错误!未找到引用源。,，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，所以错误!未找到