高中数学必修4知识点及其配套习题

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第1页共13页PvxyAOMT高中数学必修4知识点正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、已知是第几象限角,确定*nn所在象限的方法:先把各象限均分n等份,再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域.5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是lr.7、弧度制与角度制的换算公式:2360,1180,180157.3.8、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则lr,2Crl,21122Slrr.9、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,xy,它与原点的距离是220rrxy,则sinyr,cosxr,tan0yxx.10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.11、三角函数线:sin,cos,tan.12、同角三角函数的基本关系:221sincos1第2页共13页2222sin1cos,cos1sin;sin2tancossinsintancos,costan.13、三角函数的诱导公式:1sin2sink,cos2cosk,tan2tankk.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.口诀:函数名称不变,符号看象限.5sincos2,cossin2.6sincos2,cossin2.口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.14.函数BxAy)sin(),(其中00A最大值是BA,最小值是AB,周期是2T,频率是2f,相位是x,初相是;其图象的对称轴是直线)(2Zkkx,凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。y=Asin(ωx+φ)+B的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:①A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=最高点-最低点2;②B的确定:根据图象的最高点和最低点,即B=最高点+最低点2;③ω的确定:结合图象,先求出周期,然后由T=2πω(ω0)来确定ω;④φ的确定:把图像上的点的坐标带入解析式y=Asin(ωx+φ)+B,然后根据φ的范围确定φ即可,例如由函数y=Asin(ωx+φ)+K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-φω(即令ωx+φ=0,x=-φω)确定φ.15.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变第3页共13页得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象.先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象.16.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准..第一个零点的位置。17.求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为π|ω|.15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk当2xkk时,既无最大值也无最小值函数性质第4页共13页时,max1y;当22xkk时,min1y.max1y;当2xkk时,min1y.周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数;在32,222kkk上是减函数.在2,2kkk上是增函数;在2,2kkk上是减函数.在,22kkk上是增函数.对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.⑶三角形不等式:ababab.⑷运算性质:①交换律:abba;②结合律:abcabc;③00aaa.baCabCC第5页共13页⑸坐标运算:设11,axy,22,bxy,则1212,abxxyy.18、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设11,axy,22,bxy,则1212,abxxyy.设、两点的坐标分别为11,xy,22,xy,则1212,xxyy.19、向量数乘运算:⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.①aa;②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,0a.⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.⑶坐标运算:设,axy,则,,axyxy.20、向量共线定理:向量0aa与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.设11,axy,22,bxy,其中0b,则当且仅当12210xyxy时,向量a、0bb共线.21、平面向量基本定理:如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使1122aee.(不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底)22、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是11,xy,22,xy,当12时,点的坐标是1212,11xxyy.23、平面向量的数量积:⑴cos0,0,0180ababab.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质:设a和b都是非零向量,则①0abab.②当a与b同向时,abab;当a与b反向时,abab;22aaaa或aaa.③abab.⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.⑷坐标运算:设两个非零向量11,axy,22,bxy,则1212abxxyy.若,axy,则222axy,或22axy.设11,axy,22,bxy,则12120abxxyy.第6页共13页设a、b都是非零向量,11,axy,22,bxy,是a与b的夹角,则121222221122cosxxyyababxyxy.24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan1tantan(tantantan1tantan);⑹tantantan1tantan(tantantan1tantan).25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sincos.⑵2222cos2cossin2cos112sin(2cos21cos2,21cos2sin2).⑶22tantan21tan.26、22sincossin,其中tan.对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx=bcosxabxaabxbab222222(sincos)··。由于上式中的aab22与bab22的平方和为1,故可记aab22=cosθ,bab22=sinθ,则。)xsin(ba)sinxcoscosx(sinbay2222由此我们得到结论:asinx+bcosx=abx22sin(),(*)其中θ由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(x)+k的形式。正弦定理和余弦定理第7页共13页1.正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(3)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R等形式,以解决不同的三角形问题.2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A

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