等离子体物理基础期末考试(含答案)

1版权所有，违者必究！！中文版低温等离子体作业一.氩等离子体密度103210ncm,电子温度1.0eTeV,离子温度0.026iTeV,存在恒定均匀磁场B=800Gauss,求（1）德拜半径；（2）电子等离子体频率和离子等离子体频率；（3）电子回旋频率和离子回旋频率；（4）电子回旋半径和离子回旋半径。解：1、1/2302()8.310()eiDeiTTmmTTne，2、氩原子量为40，221/21/200()8.0,()29pepieineneGHzMHzmm，3、14,0.19eieieBeBGHzMHzmm4、设粒子运动与磁场垂直2224.210,1.3eeiieeiicecimTmTmvmvrmmrmmqBeBqBeB二、一个长度为2L的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为220()(1/)BzBzL，并满足空间缓变条件。求：（1）带电粒子能被约束住需满足的条件。（2）估计逃逸粒子占全部粒子的比例。解：1、由B(z)分布，可以求出02mBB，由磁矩守恒得22001122mmmvmvBB，即022mvv（1）当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有0mvv，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足0022vv2、逃逸粒子百分比20012sin129.3%22Pdd（2）2三、在高频电场0cosEEt中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率/tteaeav正比于速度。求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当tea时，电子遵守麦克斯韦尔分布。解：课件6.6节。电子分布函数满足2200010220011cos1()(())(1.1)32cos(1.2)taeaeateaefeEtTfvfvvftmvvvvmveEtffftmv因为0f的弛豫时间远远大于1f的弛豫时间，因此近似认为0f不随时间改变，1f具有的频率，即0111120(2.1)(,)()cos()sin(2.2)ftfvtfvtfvt(2.2)代入(1.2)中，得0011121112()cos()sincostteaeaeeEdffftffttmdv（3）对比cost和sint的系数，(3)解得000011122222,()()teatteeaeeaeEdfeEdfffmdvmdv（4）(4)代入(1.1)得2222000222222((1cos2)()sin2())6teatteeaeaeEvdfdfddvttmvdvdvdvdv20021(())2taeaaTfvvfvvmv（5）对(5)求时间平均得22220000222221()(())62tteaaeateeaaeEvdfTfdvvfmvdvdvvvmv（6）引入有效电场2220222()teaeffteaEE代入(6)得222200021()(())32efftaeateeaaeEvdfTfdvvfdvmdvvmv（7）3对(7)两端积分，得2200022203effateeaaeEdfTfvfmdvmv（8）所以电子分布函数为0222200exp()/3()vetaeeamvdvfATeEm（9）其中A为归一化系数，电子动能为4002()eeKmfvvdv（10）当tea时，0222200exp()/3()vetaeeamvdvfATeEm22200exp()/3veaemvdvATeEm222/23/202()e,23eemvTeeaeemeETTTm（11）为麦克斯韦分布。四、设一长柱形放电室，放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求：（1）径向双极性电场和双极扩散系数；（2）电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件；（3）当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。解：课件8.5节。1、粒子定向速度u满足nuEDn（1）其中/ceBm，211(/)cmmem，211(/)cmmTDm。双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据(1)，因此径向方向上有iiiiinunEDneeeeenEDnnu（2）解方程(2)得径向双极性电场4ieieDDnEn（3）代入(2)得到eiieieDDn（4）因此径向双极扩散系数为eiieaieDDD。2、电子和离子扩散系数分别为211(/)iiiiiiTDmeBm211(/)eeeeeeTDmeBm（5）解方程(5)得22()iieeeiiieeiiieeemmTmTmeBmTmT（6）注意到iemm，因此磁场满足22iieeeimmTBeT。3、双极性电场指向柱轴等价于22222222222222220iiieeeieiieeiieeieiieeTmTmDDmeBmeBnnEememnnmeBmeB（7）当考虑,,ieeiiieemmTTTmTm时，(7)简化为2222iieeeiiimmTeBTm（8）(8)成立即双极性电场指向柱轴的条件是22iieeeimmTBeT。五、如果温度梯度效应不能忽略,推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。解：粒子运动方程0mqnEpmnu（1）若等离子体温度有梯度，即pTnnT，有5mmmqTnTTuEmmnmT（2）即/nunEDnDnTT（3）其中,mmqTDmm。双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，因此有//iiiieeeenEDnDnTTnEDnDnTT（4）由方程（4）解得双极性电场满足ieieieieDDDDnTEnT（5）将（5）带入（4），得/eiieeiieieieieDDDDnnTT（6）因此双极性扩散系数为eiieaieDDD。六、推导出无碰撞鞘层Child定律和玻姆鞘层判据。解：课件9.1节。在无碰撞鞘层中作如下假设：电子具有麦克斯韦分布；离子温度为0K；等离子体-鞘层边界处坐标为0，电场电势为0，此处电子离子密度相等，离子速度为su。根据粒子能量守恒得221122sMuMue（1）根据粒子通量守恒得issnunu（2）解得，1/222(1)issennMu。电子满足玻尔兹曼分布/eTesnne，带入泊松方程得2/1/22201((1/)),2TssssendeeEMudx（3）上式两端乘ddx并对x积分，注意有00|0,|0xxddx，得/1/20()((1/))Tssendddddxedxdxdxdxdx62/1/201()(2(1/)2)2TssssendTeTEEdx（4）（4）要保证右端为正，当||0时显然成立。当||较小时，对其线形展开得，22221124seeTE化简得玻姆鞘层判据1/2()sBeTuuM。当阴极鞘层的负偏压较大时，/0eTesnne，sE，此时（4）近似等于21/21/2012()2()()2ssenudedxM（5）记0ssJenu，（5）两边开方再积分，注意边界条件00|0,|0xxddx得3/41/21/40032()()()2JexM（6）（6）中带入边界条件0()sV，化简得无碰撞鞘层Child定律3/21/2000242()9VeJMs七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S，电压为V，证明：一个初始能量为零的离子穿过鞘层到达极板所需时间为03/tsv，这里1/20(2/)veVm。解：朗缪尔鞘层中电势的分布为3/41/21/4032()()2Jexm（1）Child定律为3/21/20242()9eVJms，带入（1）得鞘层电势分布满足4/3()xVs（2）由粒子能量守恒得212mve（3）带入得（2），化简得2/30()dxxvvdts（4）对于方程(4)将含x项移到左边，两边乘dt再积分，注意到初始条件0|0tx，得72/31/303sxtv（5）当粒子到达极板时，有xs，带入（5）得03/tsv八、一个截面为正方形（边长为a）长方体放电容器内，纵向电场维持了定态等离子体，设直接电离项为innt，并忽略温度梯度效应，求：（1）在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件：（2）设纵向电流密度为ejenE，给出穿过放电室截面的总电流表达式。解：1、由平衡态粒子数守恒方程得2aiDnn，化简得亥姆霍兹方程220,/ianknkD（1）对（1）分离变量法求解。设()()nXxYy，有22222220,0,xyxyXXYYk（2）为了保证XY方向的对称性，所以有/2xyiaD，考虑到边界条件|0n的限制，由（2）得sin,sin,/XxYyma（3）注意到密度n恒正，所以自然数m只能等于1，由（3）得密度分布和电离条件为220sinsin,2iaxynnaDaa（4）2、总电流为000sinsinaaexyIjdxdyenEdxdyaa08eaienED。九、电子静电波的色散关系为222232pethkv，这里22etheTvm。给出波的相速度和群速度；证明在大的波数k时，波的相速度和群速度相等，并给出其值。证：群速2222323/2thgpethkvdvdkkv，相速2223/2pethpkvvkk，当k很大时32pgthvvv。8十、一个碰撞阴极鞘层，忽略鞘层中电子密度和电离效应，取离子定向速度为2iiieEuMu，推导鞘层中的电场分布、电势分布、碰撞情形Child定律及鞘层厚度与平均自由程的关系式。解：课件9.2节。粒子连续性方程满足iissnunu带入2iiieEuMu得1/2(2/)ssiinuneEM（1）将（1）代入高斯公式得，1/200(2/)issienenudEdxeEM在鞘层边界近似有(0)0E，解得电场分布为2/31/32/30(3/2)(2/)ssiEenueMx（2）令电势满足(0)0，对（2）积分得电势分布为2/32/31/35/3033()()(2/)52ssienueMx（3）注意到ssJenu，()sV，所以得到Child定律形式为3/23/21/205/2225()()33ieVJMs（4）由（4）得鞘层厚度与平均自由程的关系式为33/52/51/51/502252()()()33ieVsMJ（5）十一、由流体运动方程，忽略掉粘性应力项，（1）推导出无磁场时电子、离子在等离子体中的定向速度表达式；（2）忽略温度梯度，证明定向速度为零时，带电粒子遵守波尔兹曼分布。解：1、课件7章。无磁场玻尔兹曼积分微分方程vnfqEnfvnfnftmt（1）在速度空间上积分。方程(1)左边第一项为33()nfndvnfdvttt（2）左边第二项为9333()()kkkkkknf