级数练习题

题型：4月1日1.判断下列级数的敛散性(绝对收敛和条件收敛)【正项级数、交错级数、任意数项级数】2.求下列幂级数的收敛半径、收敛区间3.求下列幂级数的和函数4.将函数f(x)展成x的幂级数或者x-a（a为常数）的幂级数内容：4月1日一．常数项级数1.级数的概念与性质2.级数敛散的判别法二．函数项级数与幂级数1．函数项级数、收敛域、和函数的概念2．幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域3．幂级数的性质4．函数的幂级数展开例题讲解：4月2日~5日题型一判定级数的敛散性题型二求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域题型三求幂级数的和函数题型四求函数的幂级数的展开式自测题八：4月5日一．填空题二．选择题三．解答题4月1日无穷级数练习题一．选择题1、设常数0，而级数21nna收敛，则级数21(1)nnnan是（）。（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛与有关2、设2nnnaap，2nnnaaq，1.2n，则下列命题中正确的是（）。（A）若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛。（B）若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛。（C）若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq的敛散性都不一定。（D）若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq的敛散性都不定。3、设0,1,2nan，若1nna发散，11(1)nnna收敛，则下列结论正确的是（）。（A）211nNa收敛，21nna发散.（B）21nna收敛，211nna发散.（C）2121()nnnaa收敛.（D）2121()nnnaa收敛.4、设为常数，则级数21sin()1()nnnn是（）（A）绝对收敛.（B）条件收敛.（C）发散.（D）收敛性与取值有关.5、级数1(1)(1cos)nnn（常数0）是（）（A）发散.（B）条件收敛.（C）绝对收敛.（D）收敛性与有关.6、设1(1)ln(1)nnun，则级数（A）1nnu与21nnu都收敛.（B）1nnu与21nnu都发散.（C）1nnu收敛而20nnu发散.（D）1nnu发散而21nnu收敛.7、已知级数12111(1)2,5nnnnnaa，则级数1nna等于（）。（A）3.（B）7.（C）8.（D）9.二．填空题1．级数5645342312的一般项是。2．级数86426424222xxxxx的一般项为。3．级数)21)1(1(1nnnn的和为。4．11npn，当p满足条件时收敛。5．11)1(nnn的和为。三．解答题（一）判断下列级数的敛散性1.n319161312.1)3)(1(1nnn3.)sin(1nnn4.1)3)(1(1nnn5.17!)!2(nnnn6.122nnna（a为常数）7.112)13(nnnn8.3．1)(nnnab，其中0,,),(abanaann。9.104411nndxx（二）判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？1.11)1ln(1)1(nnn2.111sinnnn4月2日无穷级数练习题1、设幂级数0nnnax的收敛半径为3，则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为。2、幂级数0(21)nnnx的收敛域为。3、幂级数211(3)2nnnnnx的收敛半径R。4、幂级数01nnxn的收敛域是。5、级数21(2)4nnnxn的收敛域为。6、级数21(2)4nnnxn的收敛域为。7、若级数1nna收敛，则级数（）（A）1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.（C）11nnnaa收敛.（D）112nnnaa收敛.8、设幂级数0nnnax与1nnnbx的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为（）（A）5.（B）5.3（C）1.3（D）1.59．级数1)5(nnnx的收敛区间（）（A）（4，6）（B）6,4（C）6,4（D）[4，6]10．若级数112)2(nnnax的收敛域为4,3，则常a=（）（A）3（B）4（C）5（D）以上都不对。11．nnxn131)2(642nnnxnnnnnx2)1(121nnxnn)2(11124月3日无穷级数练习题基础题：1、级数0(ln3)2nnn的和为。2、级数11(1)(2)nnnn的和。3、设函数2()(01)fxxx，而1()sinnnSxbnx，x其中102()sinnbfxnxdx，1,2,3n，则1()2S等于（）。（A）12.（B）14.（C）14.（D）12.4、设函数2()(01)fxxx，而1()sinnnSxbnx，x其中102()sinnbfxnxdx，1,2,3n，则1()2S等于（）。（A）12.（B）14.（C）14.（D）12.5、已知级数11(1)2nnna，2151nna，则级数1nna等于（）。（A）3.（B）7.（C）8.（D）9.9、级数nnxxn)1(11的和函数为（）（A）xx)1ln(（B）)2ln(x（C）xln（D）以上都不对。综合题：6、求幂级数1211(1)(1)(21)nnnxnn的收敛区间与和函数().fx7、求幂级数1211(1)(21)nnnxnn的收敛域及和函数().sx8、求幂级数1211(1)(1)(21)nnnxnn(1)的收敛区间与和函数()fx。9.求下列幂级数的和函数。1．)1(11xxnnn2.)1(14114xnxnn3．1112)1(nnnxnn并求112)1(nnnn4月4日无穷级数练习题基础题：1．)2ln()(xxf关于x的幂级数展开式为，其收敛域是。2．231)(2xxxf展开成x+4的幂级数为，收敛域为。3.函数2)(xexf展开成x的幂级数为（）（A）02!nnnx（B）02!)1(nnnnx（C）0!nnnx（D）0!)1(nnnnx4．)0()(nf存在是f(x)可展开成x的幂级数的（）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不是充分条件也非必要条件5．),()(在xf内展开成x的幂级数，则下列条件中只有（）是必要的。（A）)2,1)(0()(nfn存在。（B）)2,1)(0()(nfn处处存在。（C）0)(lim)(xfnn(D)以上都不对6．241xx展开成x的幂级数是（）（A）nnx21（B）nnnx21)1(（C）nnx22（D）nnnx22)1(综合题：7.将函数1()arctan1xfxx展为x的幂级数。8.将函数111()1arctan412xfxnxxx展开成x的幂级数。9.设21arctan,0()21,0xxxfxx试将()fx展开成x的幂级数，并求级数21(1)14nnn的和。10.将函数)1ln()1()(xxxf展开成x的幂级数。11将)1ln()(xxf展开成x=3处的泰勒级数12.将321)(2xxxf展开成x的幂级数4月5日无穷级数一、单项选择题1．（3分）级数!21!6!4!212642nxxxxnn的和函数是（）Ａ．xsinＢ．xcosＣ．x1lnＤ．xe2．（3分）若常数项级数1nna发散，则（）Ａ．可能有0limnnaＢ．一定有0limnnaＣ．一定有nnalimＤ．一定有0limnna3．（3分）已知级数1nnU中，0limnnU，则1nnU（）Ａ．收敛Ｂ．发散Ｃ．条件收敛Ｄ．可能收敛，也可能发散4．（3分）设1nnU为收敛级数，则下列级数中收敛的级数为（）Ａ．110nnUＢ．110nnUＣ．110nnUＤ．11021010nnU5．（3分）幂级数1231nnnnx的收敛区间是（）Ａ．3,3Ｂ．3,3Ｃ．3,3Ｄ．3,36．（3分）设nkknuS1，则数列nS有界是级数1nnu收敛的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既非充分又非必要条件7．（3分）幂级数111npnnnx在其收敛区间的端点（）Ａ．条件收敛Ｂ．绝对收敛Ｃ．发散Ｄ．10p时条件收敛，1p时绝对收敛8．（3分）级数1nnnx在1x的和函数是（）Ａ．x1lnＢ．x11lnＣ．1lnxＤ．1lnx二、填空题（共24分）9．（3分）级数324321xxx的收敛区间为（含端点敛散性）10．（3分）1131nnnnnx的收敛区间是（含端点敛散性）11．（3分）设幂级数为13111nnnxn，则该幂级数的收敛区间是（含端点敛散性）12．（3分）级数13111nnnn的敛散性是13．（3分）级数0nnu与0nnv均为正项级数，nnuv，若级数0nnu发散，则级数0nnv的敛散性是14．（3分）级数2211nn的和为15．（3分）幂级数11nnnx的收敛域是16．（3分）设xf是周期为2的周期函数，它在,上的表达式为xxxxf0,0,0，则xf的傅立叶系数的积分表达式为na、nb三、计算题（共30分）17．（5分）将函数x2sin展开成x的幂级数18．（5分）把函数xxxf2cos展开成x的幂级数19．（5分）设34ln2xxxf，将xf展开成x的幂级数20．（5分）将函数xxxf2cos展开成x的幂级数21．（5分）判别级数123!1nnnnn的敛散性22．（5分）把函数xxf61展开成2x的幂级数，并写出幂级数的收敛区间四、解答题（共16分）23．（8分）判别级数11nnn的敛散性。24．（8分）将231xxxf展开成x的幂级数，并指出收敛域。五、证明题（共6分）25．（6分）若数列,,,,,210naaaa有界，级数0nnb绝对收敛，证明02nnnba也绝对收敛。