第三讲行列式按行按列展开

单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室批准：日期：年月日任课教员：刘静班次上课日期节次上课时数累计时数教学场所06级电子信息3班07.09.213~42620#B10206级合训7、8班07.11.193~426236课程名称：线性代数章节名称：第一章行列式课题：第三讲行列式按行按列展开目的、要求：1.行列式的按行按列展开法则；2.掌握行列式的计算方法。难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。器材设备：多媒体设备课前检查序号题目学员姓名成绩1行列式的定义2行列式的6条重要性质教学内容：本讲主要介绍：1.行列式的按行（列）展开法则；2.掌握行列式的计算方法。教学方法与思路：1.首先介绍余子式和代数余子式的概念；2.对于三阶行列式，容易验证：111213222321232123212223111213323331333133313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。由此容易想到：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？3.给出一个特殊的n阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；4.进而介绍行列式的按行（列）展开法则。教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。教学步骤：1.介绍余子式和代数余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展开法则；4.应用举例。5.小结并布置作业。教学内容、方法、步骤教学内容课堂组织-1-§6行列式按行按列展开一、行列式的按行按列展开法则以三阶行列式为例，容易验证：111213222321232123212223111213323331333133313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？对于高阶行列式也有同样的结论。1．余子式：在n阶行列式中，将元素ija所在的行与列的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记作ijM．2．代数余子式：元素ija的代数余子式ijjiijMA)1(．3.引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除ija外都为零，那末这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijAaD．这里首先举一个实例说明其含义。(见多媒体)给出证明(见多媒体)。定理3nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211ininiiiiAaAaAa2211),,2,1(ni板书标题于中央12min一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，行列式的按行（按列）展开则可以实现将高阶行列式转化为低阶行列式，这正是研究该问题的主要目的。注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展开定理．教学内容课堂组织-2-njnjjjjjAaAaAa2211),,2,1(nj证明：1）假定行列式D的第一行除11a外都是0，即11212221200nnnnnaaaaDaaa由行列式定义，D中仅含下面形式的项23232323(1,,,,)(1,,,,)11231123(1)(1)nnnnjjjjjjjjnjjjnjaaaaaaaa其中2323(1,,,,)23(1)nnjjjjjnjaaa恰是11M的一般项，所以11111111111111(1)DaMaMaA2）设D的第i行除了ija外都是0，即1111100jnijnnjnnaaaaDaaa把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，……，第2行，第1行进行交换；再将第j列与第1j列，第2j列，……，第2列，第1列交换，这样共经过(1)(1)2ijij次交换行与交换列的步骤。由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得21,1,11,,100(1)(1)(1)ijijijijijijinijijijnjnjnnaaaaDaMAaaa在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。把D转化为1)的情形利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。教学内容课堂组织-3-3）一般情形1112111121121212121112111121111211212121000000000000nniiiniiinnnnnnnnnnnniiinnnnnnnnnnnaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21122nniiiiininaaAaAaA证毕。定理４：行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之各为零，即10,nijkjjaAki。证明：由定理３知，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素，则111211211221212nkkknkikikninkkknnnnnaaaaaaaAaAaAaaaaaa右端的行列式含有两个相同的行，值为0。8min教学内容课堂组织-4-综上，得公式1122,0kikikninDkiaAaAaAki（当），（当）1122,0ljljnlnjDljaAaAaAlj（当），（当）二、应用举例例5:计算行列式3112513420111533D。解：1343(2)3313213112511151341113120110010153355305115116282(1)1111620(1)405505550550ccccDrr例6计算n阶行列式baababbaabbaDn111解：将nD按第一行展开，得课间休息6min10min教学内容课堂组织-5-2111)(1101)(nnnnnabDDbabaababbaababDbaD阶递推公式改写为)(...)(122211aDDbaDDbaDDnnnnn而abbaD22)(，baD1，于是有nnnbaDD1，整理得2122321211;...,;;baDDbaDDbaDDbaDDnnnnnnnnn将上述等式两端分别乘以22,...,,,1naaa，然后再相加，得到222111...baababbDaDnnnnnn即得nnnnnnnnababaababbDaD11222111...，整理得baababbaanDnnnn,,)1(11例7证明范得蒙行列式1222212111112111().nnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx证明：用数学归纳法证。(1)当n=2时,221211211(),ijijDxxxxxx(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。10min教学内容课堂组织-6-112211122131122212112213311111222122213311111111100()()()0()()()nnnnnnnnnnrxrrxrnnnnnnnnnxxxxxxxxxDxxxrxrxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx11(),ixx按第列展开，并把每列的公因子提出232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx上式右端的行列式是一1n阶范得蒙行列式，故原式2131121()()()()()nijijnijnijxxxxxxxxxx证毕。例8计算Dn=det(aij),其中||ijaij。解：012321101232210143123410nnnnnDnnnnnn,(1)012321111111111111111111111111nnn从第行开始后行乘加到前行8min教学内容课堂组织-7-1112321011111011111011111011111nnnncc11111111111111111111(1)(1)111111111111n按第一列展开2131411111110222200222(1)0002200002rrrrrrrrnn212(1)(1)(2)(1)(1)2nnnnn例912312001030100nnnDn设阶行列式，求第一行各元素的代数余子式之和11121.nAAA解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成8min教学内容课堂组织-8-11121nAAA111112001030100n21!1.njnj小结：本讲介绍了：1.介绍余子式和代数余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展开法则；4.应用举例。3min作业：习题册上同步习题