牛顿插值法在平面凸轮廓线分析中的应用

牛顿插值法在平面凸轮廓线分析中的应用赵天骄090401090401125【摘要：】在已有文献中提出的凸轮廓线方程式，大多是以凸轮转角为参数的函数，但生产实践中要求凸轮廓线的向径是以向径角为参数的函数。本文讨论了应用牛顿差值函数解决这个问题。该方法灵活简便，易于进行误差估算。一般情况下，高速包装机械凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既保证凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此在不同的工作情况下，凸轮设计的解析方程往往是不同的。这样虽能保证凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，所以要采用某些方法来使凸轮的工作廓线的修正来变得简单，这个方法就是牛顿插值法。【关键字：】凸轮;牛顿插值法；精度1.前言凸轮机构在高速包装机械设备中广泛应用，是一种不可代替和缺少的重要机构。本文利用牛顿插值法，提出一种简单实用的凸轮廓线的修正设计方法，这种方法不必再去考虑原有的解析方程的形式，只需通过对要修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮曲线在实际使用中的的局部修正设计。以上情况属于已知一个函数表，需要求其他点上的函数值问题，通常通过构造一个与已知函数表中的数据相适应的函数，此函数称为插值函数。2.算法描述2.1算法的原理若已知的仅是)(xfy的函数表（1）xx0x1x2…)(xfyy0y1y2…其中)(xf在区间[a,b]上连续。x0,x1,…,为区间[a,b]上若干个互不相同的点。欲求其他点上的函数值，可以通过一个与表列数据相适应的函数来解决，即需求出一个满足iiyxP)()...,2,1,0(ni（2）的函数)(xP作为)(xf的近似。本文采用次数不超过n的代数多项式作为插值函数，由线性代数知识，可以把满足式（3）的n次多项式写成))...()((...))(()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxP(3)其中，naaa,...,,10为待定系数，可由插值条件—满足式（2）确定。如果引入与差分相关概念—均差后，可使式（3）成为便于应用的插值多项式。由均差定义，以函数表（1）为例，)(xfy的一阶均差为,...,],[,],[121221010110xxyyxxfxxyyxxf二阶均差为......................................................],[],[],,[],[],[],,[132132321021021210xxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxxfn阶均为01102110],...,,[],...,,[],...,,[xxxxxfxxxfxxxfnnnn由插值条件式（2）及均差定义，求得插值多项式（3）中的系数。].,...,,[],...,,,[],,[),(102102101000nnxxxfaxxxfaxxfaxfya。由此，式(3)成为牛顿基本插值多项，记作...))(](,,[)](,[)()()(102100100xxxxxxxfxxxxfxfxPxNnn))...()(](,...,,[11010nnxxxxxxxxxf（（4）在数值计算中，以n次插值多项式)(xPn近似代替)(xf，即)()(xPxfn由插值条件式（2）知，再节点),...,1,0(nixi上不存在误差，但在其他点上],[bax上，)(xPn与)(xf一般是有误差的。这个误差称为插值多项式)(xPn的余项或称为用)(xPn近似代替)(xf时的截断误差，记作)()()(xPxfxRnn经过数学演算，看得到用均差表示的余项公式为))...()(](,,...,,[)(10110nnnnxxxxxxxxxxfxR（5）为了将式（4）以及（5）应用与凸轮廓线分析，以及坐标nn,...,,...,,1010，和分别代换nnyyyxxx,...,,,...,,1010和，得到))...()(](,...,,[...))(](,,[)](,[)()(1101010210010nnnffffN（6）))...()(](,,...,,[)(10110nnnnfR（7）2.2算法的思想本文应用牛顿插值法，提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法，这种方法不必要再去考虑原有解析方程的形式，只需通过对要修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮曲线在实际实用中的局部修正设计。3算法仿真高速包装机上有一凸轮，其工作廓线共有分A、B、C三段，在实际的使用中发现A段和C段的行程符合设计要求，而B段的行程必须进行修正设计。已知凸轮A段曲线数据，如表1所示。表1ix239240241242243)(ixf14.22714.0313.85413.68113.526已知凸轮C段曲线数据，如表2所示。表2ix249250251252253)(ixf13.09813.09513.08513.06713.039以250,249,243,242ix这四个点的数据用三次牛顿插值法求出B段ix=244,245，…,248的数据为例进行说明，但这样的计算可能导致计算结果的误差较大。实际操作中应使用所用上述所给的数据点进行计算，这样就能够进行更高次的牛顿插值，从而获得误差较小的计算结果。首先，对现有数据进行处理，根据牛顿插值的定义做差商表，如表3所示。表3ix)(ixf一阶差商二阶差商三阶差商24213.16824313.526-0.15524913.098-0.071330.001195225013.095-0.0030.009762-0.00027再根据牛顿插值法的定义，用差商表中的数据进行计算：394904.13)00027.0()249)(243)(242(394904.13)244()244()00027.0()249)(243)(242()()(394904.13)244(011952.0)243(242()155.0()242(681.13)(32322xxxNfxxxxNxNNxxxxN此方法算出B段曲线上其他点的数据，结果见表4表4ix244245246247248)(ixf13.39813.29413.21413.15613.1184结论用牛顿插值法对凸轮进行修正设计是一种简单实用的方法，其优点为：这种方法只须借助凸轮上一些离散的点的数值就能对凸轮曲线进行修正设计，同时掌握的数据越多，就越进行更高次的插值计算，所得结果的误差也就越小。当然，插值计算是一种在现有熟知的基础上进行的一种估算，因此牛顿插值只能对凸轮曲线进行局部的修正设计，而不能对凸轮曲线进行整体设计。参考文献[1]陈基明，数值计算方法[M].上海大学出版社.2007[2]王慧武，薛隆泉，刘荣昌，基于样条函数的配气凸轮曲线设计[J].内燃机工程，2005,26（1）；[3]邵世权，尚久浩，曹西京.样条函数在凸轮曲线设计中的应用[J].机械科学与技术，2003（增刊）[4]李庆杨等：数值分析，1982年版，华中工学院出版社[5]华大年、唐之伟主编：机构分析与设计：1985年版，纺织工业出版社