夹角的计算

§5夹角的计算●三维目标1．知识与技能(1)使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用(2)提高学生选择恰当的方法求夹角的技能．2．过程与方法(1)在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．(3)通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位．(2)通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情．●重点难点重点：空间夹角的计算．难点：两平面的夹角与两平面法向量所成角的关系及直线与平面的夹角与直线的方向向量与平面法向量所成角的关系．本节课主要通过寻找空间角与向量夹角间的关系，在教学中，可以以教师为主导，学生为主体，训练为主线，创设情境，引导学生自主探究，通过启发、提问、讨论、点拨、演示、归纳，让学生想、学生做、学生说，在活动中，深化对夹角计算方法的认识．●教学建议1．通过提问、探索、讨论、归纳，让学生参与教学活动，调动学习积极性．2．渗透类比、分析、归纳的方法，加深学生对向量法的理解，培养学生探索能力．3．通过纯几何方法求空间角的“难”与向量法求空间角的“易”比较，加深对向量法的认识．●教学流程创设情境引入课题―→空间角的定义过程―→探究空间角与向量夹角的关系―→归纳空间角的向量求法―→通过例题与变式体验空间角的求法―→归纳总结形成整体认识课标解读1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点)2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点)直线间的夹角【问题导思】图11．如图1，s1，s2分别是直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2的夹角θ与〈s1，s2〉有怎样的关系？【提示】θ＝〈s1，s2〉．2．将图1改成图2呢？图2【提示】θ＝π－〈s1，s2〉．直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.平面间的夹角【问题导思】图11．如图1，n1，n2分别是平面π1，π2的法向量，则二面角π1－l－π2的大小θ与〈n1，n2〉有怎样的关系？【提示】θ＝π－〈n1，n2〉．2．将图1改成图2呢？图2【提示】θ＝〈n1，n2〉．平面间的夹角(1)平面间夹角的概念图2－5－1如图2－5－1，平面π1和π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．(2)平面间夹角的求法设平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.当0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当π2＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.直线与平面的夹角【问题导思】图11．如图1，直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线l与平面的夹角θ与〈a，n〉有怎样的关系？【提示】θ＝π2－〈a，n〉．2．将图1改成图2呢？图2【提示】θ＝〈a，n〉－π2.直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.直线间的夹角在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，求异面直线C1E与FD1的夹角的余弦值．【思路探究】建立直角坐标系→求C1、E、F、D1点的坐标→计算C1E→、FD1→→计算cos〈C1E→，FD1→〉→向量夹角转化为直线夹角【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则E(3,3,0)，F(2,4,0)，D1(0,0,2)，C1(0，4,2)，∴C1E→＝(3,3,0)－(0,4,2)＝(3，－1，－2)，FD1→＝(0,0,2)－(2,4,0)＝(－2，－4,2)，∴cos〈C1E→，FD1→〉＝3×－2＋－1×－4＋－2×214·24＝－2114＜0.∴〈C1E→，FD1→〉＞π2.所以C1E和FD1的夹角θ＝π－〈C1E→，FD1→〉，故cosθ＝2114，即异面直线C1E与FD1的夹角的余弦值为2114.1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决本题的关键．2．求线线夹角时应注意线线夹角范围为[0，π2]，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角．若本例条件不变，求直线EF和直线DC1的夹角的余弦值．【解】由上例知E(3,3,0)，F(2,4,0)，D(0,0,0)，C1(0,4,2)∴EF→＝(2,4,0)－(3,3,0)＝(－1,1,0)，DC1→＝(0,4,2)，∴cos〈EF→，DC1→〉＝－1×0＋1×4＋0×22·20＝105，∴直线EF和直线DC1的夹角的余弦值为105.平面间的夹角图2－5－1如图2－5－1的多面体是直平行六面体ABCD－A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．【思路探究】本题是“无棱”的二面角，可考虑利用向量法求解．抓住DA、DC、DG两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出平面AEFG、平面ABCD的法向量，再求其所成的角．【自主解答】(1)证明：在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，∴由余弦定理可得BD＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD．又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴GD⊥BD．又AD∩GD＝D，∴BD⊥平面ADG.(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.∵∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，则有A(1,0,0)，B(0，3，0)，G(0,0,1)，E(0，3，2)，C(－1，3，0)．∴AE→＝(－1，3，2)，AG→＝(－1,0,1)．设平面AEFG的法向量为n＝(x，y，z)，故有n·AE→＝－x＋3y＋2z＝0n·AG→＝－x＋z＝0，取n＝(1，－33，1)．而平面ABCD的一个法向量为DG→＝(0,0,1)，∴cos〈DG→，n〉＝DG→·n|DG→||n|＝217.故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为217.1．求两个平面的法向量是解决本题的关键．2．用向量法求两平面夹角的一般步骤是：(1)建立坐标系，标出点坐标；(2)求出两平面的法向量；(3)求法向量所成的角，再转化为平面夹角．需注意平面夹角与向量夹角的关系．图2－5－2如图2－5－2是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.求平面BAC与平面ACC1A1夹角的大小．【解】如图，以B1为原点，分别以B1C1，B1A1，B1B所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，1,4)，B(0,0,2)，C(1,0,3)，所以AB→＝(0，－1，－2)，BC→＝(1,0,1)．设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则由AB→·m＝0，BC→·m＝0得－y－2z＝0x＋z＝0，取x＝－z＝1，则m＝(1,2，－1)．显然，l＝(1,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量，则cos〈m，l〉＝m·l|m||l|＝1＋2＋06×2＝32.此时〈m，l〉＝π6＜π2，因此平面BAC与平面ACC1A1的夹角为π6.直线与平面的夹角图2－5－3如图2－5－3，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．【思路探究】建立空间直角坐标系，求出相应的方向向量与平面的法向量，利用方向向量与平面的法向量的关系求解．【自主解答】以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0，2,0)．又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0.(1)证明：AS→＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，DS→＝(x－1，y，z)，由|AS→|＝|BS→|得x－22＋y－22＋z2＝x2＋y－22＋z2，故x＝1.由|DS→|＝1得y2＋z2＝1，又由|BS→|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝12，z＝32.于是S(1，12，32)，AS→＝(－1，－32，32)，BS→＝(1，－32，32)，DS→＝(0，12，32)，DS→·AS→＝0，DS→·BS→＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB．(2)设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥BS→，a⊥CB→，a·BS→＝0，a·CB→＝0.又BS→＝(1，－32，32)，CB→＝(0,2,0)，故m－32n＋32p＝0，2n＝0.取p＝2得a＝(－3，0,2)．又AB→＝(－2,0,0)，记θ为AB与平面SBC所成的角，则sinθ＝|cos〈AB→，a〉|＝|AB→·a||AB→|·|a|＝217.故AB与平面SBC所成的角的正弦值为217.利用空间向量求线面角θ的方法为：图2－5－4如图2－5－4，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.求DP与平面AA′D′D夹角的大小．【解】如图，以D点为原点，DA、DC、DD′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H，设DH→＝(m，m,1)(m＞0)．由已知〈DH→，DA→〉＝60°及DA→·DH→＝|DA→|·|DH→|·cos〈DH→，DA→〉可得2m＝2m2＋1，则m2＝12.又m＞0，∴m＝22.即DH→＝(22，22，1)．因为DC⊥平面AA′D′D．所以DC→＝(0,1,0)是平面AA′D′D的一个法向量．又∵cos〈DH→，DC→〉＝DH→·DC→|DH→|·|DC→|＝22×0＋22×1＋1×02×1＝12，∴〈DH→，DC→〉＝60°.即DP与平面AA′D′D所成的角为90°－60°＝30°.忽视异面直线所成的角的取值范围致误图2－5－5如图2－5－5，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝12AD，求异面直线BF与ED所成角的大小．【错解】分别以AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(12，1，12)．则BF→＝(－1,0,1)，ED→＝(0,1，－1)，∴cos〈BF→，ED→〉＝BF→·ED→|BF→|·|ED→|＝0＋0－12·2＝－12，∴〈BF→，ED→〉＝120°.所以，异面直线BF与DE所成的角的大小为120°.【错因分析】误认为异面直线所成的角与这两条直线的方向向量的夹角相同．【防范措施】注意二者范围不同，其中异面直线所成的角的范围是(0，π2]．弄清二者的关系，它们的关系是相等或互补．【正解】∠BF→，ED→的求解同错解．所以，异面直线BF与DE所成的角的大小为180°－120°＝60°.1．利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，常用的两种方法是坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握．2．利用向量方法求两平面夹角的方