复变函数试卷A的答案

1一、填空题（共30分,其中每空3分）1.Re()1Im()011zzzz，，，。2.242[cos(ln2)sin(ln2)]0,1,2,...44keik。，ln24。3.1/24.135.22，46.22xyz二、计算积分（共21分，每题7分）1.计算积分[2Re()]dCzzz，其中C是从点A(1,0)到B(-1,0)的上半个圆周。解：C的参数方程为cossinztit，0t，……………………………2分0[2Re()]d(3cos2sin)(sincos)dCzzztittitt…………4分2200(5sincos)d(3cos2sin)dtttittt0055cos2|sin24242ttiti………………………………7分2.计算积分133224351zzdzzz解：13322451zfzzz在扩充复平面共有7个奇点，分别是5,zi2140,1,2,3kiek和。前6个奇点都在积分闭路线内，……………2分133224351zzdzzz=1332242Re,51ziszz…………………5分=322412Re,0151iszzz=2i……………7分3.计算广义积分dxxxx)4)(1(cos22解：有理函数)4)(1(1)(22zzzf的分母次数=分子次数+4，且该函数在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点i，i2；故……………………………2分dxxxx)4)(1(cos22=22Re(1)(4)ixedxxx…………………………………………………………3分22222Re2(Re[,]Re[,2])(1)(4)(1)(4)izizeeisisizzzz…………………5分1212Re2()()61236eeeeiii………………………………………………7分三、解答题（共49分）1、求k的值，使22kyxu为调和函数；再求u的共轭调和函数v，使解析函数ivuzf)(满足1)(if。(10分)解：（1）xxu2，222xu.kyyu2，kyu222.由调和函数的定义有：02222yuxu………………………………………………………………….3分故.1,022kk…………………………………………………………4分（2）由C-R方程可知yyuxv2.yxyv2yxyv2……………………………………………………….……7分另一方面xxuyv2.xyx22.,,0为常数其中CCyy.2Cxyv.2)(22Cxyiyxzf………………………………………….……9分3再由.01)(Cif可得.2)(222zxyiyxzf……………………………….……….……10分2.将函数)1(1)(zzzf分别在圆环域1|1|0z，|1|1z展开成Laurent级数。(12分)解：在圆环域1|1|0z上的Laurent级数为1()(1)fzzz111(1)1zz(2分)01(1)1nnzz(4分)在圆环域|1|1z上的Laurent级数为111()(1)(1)11fzzzzz（1分）11111111zzz（2分）0111()111nnzzz.（2分）21()1nnz（1分）3.确定241()zefzz在有限区域的奇点类型，并求出在这些奇点处和点的留数。(12分)解：由2441(1)(1)()zzzeeefzzz，z＝0是分子的一级零点，是分母的4级零点，可知z＝0为函数的三级极点(1分)301Re[(),0]lim[()]''2!zsfzzfz(3分)2011lim[]''2!zzez(1分)22301(442)2lim[]2!zzzzez（2分）4222018lim[]2!3zzzez(2分)＝43(1分)由于函数在扩充复平面只有0和两个奇点4Re[(),]Re[(),0]3sfzsfz(3分)或：241()zefzz在0||z邻域内，可展开为22441111(){1[12(2)....(2)2!!znefzzzzzzn(3分)3222412....33zzz（3分）因为1z项系数为43（1分）所以，4Re[(),0]3sfz（2分）由于函数在扩充复平面只有0和两个奇点4Re[(),]Re[(),0]3sfzsfz(3分)4、（7分）求将上半平面变换到单位圆的分式线性映射)(zfw，且满足0)(if，2)(argif。解：由一般表示式得：izizezfwi)(-----------------------------（2分）所以iiieizizizizeif21)()()()(2--------------（2分）2)(argif---------------------------（1分）---------------------------（1分）izizzfw)(---------------------------（1分）5、（8分）已知kxyjziyA223,kixB42,求)(BAgrad解：xyyxxyzxyBA43)4(*0*2*3222---------2’5kzBAjxBAixBABAgrad)()()()(-------4’又有：yxyxxyyxxBA46)43()(2--------------------------------5’xxyxyyxyBA43)43()(22-------------------------------6’0)43()(2zxyyxzBA--------------------------7’于是jxxiyxyBAgrad)43()46()(2--------------8’