大一下学期高数试卷

一、填空题（共15分，每小题3分）1.设函数xyxyyxfarcsin)1()(2，，则)11(，yf.2.设函数)23e(yxfzxy，，其中)(vuf，有连续偏导数，则xz.3.设有界闭区域19422yxD：，则二重积分Dyxdd.4.若级数1)1(nnu收敛，则极限nnulim.5.幂级数0!nnnx的收敛区间是.二、选择题（共15分，每小题3分）1.函数),(yxfz在),(000yxP点可微是),(yxfz在点),(000yxP处两个偏导数),(00yxfx及),(00yxfy存在的（）条件.（A）充分；（B）必要；（C）充分且必要；（D）即非充分又非必要.2.点)0,0(O是函数22yxz的（）.（A）可微点；（B）驻点；（C）极大值点；（D）极小值点.3．由旋转抛物面22yxz及平面2z围成的立体体积V（）．（A）yxyxyxdd)222222（；（B）yxyxyxdd)222222（；（C）yxyxyxdd)222222（；（D）yxyxyxdd)222222（．4．若级数nnna1)1(条件收敛，则级数（）．得分得分（A）1nna收敛；（B）1nna发散；（C）)(11nnnaa收敛；（D）12nna与112nna都发散．5．若幂级数0nnnxa的收敛半径为R，则011nnnnxa的收敛半径（）．（A）等于R；（B）大于R；（C）小于R；（D）无法确定．三、计算下列各题（每小题7分，共21分）1.设函数yxz，计算yzxxzyxln1．2.若函数),(yxzz由方程yzzxln确定，求zd.3.设)(uxFxyz，而xyu，其中)(uF可导，求xz及yz.得分四、计算下列各积分（每小题6分，共18分）1.计算二重积分Dyxxdd，其中区域D由曲线2xy及xy2围成．2.计算二重积分yxxyDddarctan，其中D是由圆422yx，122yx及直线xy，0y围成的位于第一象限部分的闭区域．3.计算二次积分1022221ddxxyxyx．得分五、解答下列各题（每小题6分，共18分）1.证明无穷级数1)1(nnnn条件收敛．2.求幂级数nnnxn)1(21的收敛半径及收敛区间．3.将函数xxfarctan)(展开为x的幂级数，并指出收敛区间．得分六、在第一卦限的平面1832zyx上求一点)(cbaP，，，使得由三个坐标面及平面czbyax、、围成的长方体体积最大.（本题7分）七、若级数1nnu绝对收敛，证明：（1）级数12nnu收敛；（2）级数1nnnu绝对收敛．（本题6分）参考答案2,213effyxy,6,1,)(，,A,D,B,C,A1.zxxyzxxzyxyy2ln1.7分得分得分2.)dd()(d)(dd2yzxyzxyzyzxyzxzxzz.7分3.)(1)(xyFxxxyFxxyz.7分四、计算下列各积分（每小题6分，共18分）1.原式1222ddxxyxx4分1232)d2(xxxx5分49]43[12432xxx.6分2.原式4021dd3分2124/02415分2643.6分3.原式242021dd4分202145分)13(4.6分五、解答下列各题（每小题6分，共18分）1.证明无穷级数1)1(nnnn条件收敛．证明：由nnnnnn211)1(，有1)1(nnnn发散．2分又设nnun1，则nnunnnnu111113分，且01limlimnnunnn4分，由莱布尼茨审敛法，得1)1(nnnn收敛．5分综上，级数1)1(nnnn条件收敛.6分2.求幂级数nnnxn)1(21的收敛半径及收敛区间．解：由22)1(2limlim11nnaannnnnn2分，得nnnxn)1(21的收敛半径21R4分．由211x5分，得2321x，收敛区间为)2321(，.6分3.将函数xxfarctan)(展开为x的幂级数，并指出收敛范围．解：由211)(xxf1分02)1(nnnx3分，0)0(f，得xttffxfx0d)()0()(arctan002d)1(nxnntt4分01212)1(nnnnx5分，（11x）（不含端点，不扣分）.6分六、在第一卦限的平面1832zyx上求一点)(cbaP，，，使得由三个坐标面及平面czbyax、、围成的长方体体积最大.（本题7分）解：设所求点为)(zyx，，，则长方体体积xyzV，满足条件1832zyx，2分设)1832(zyxxyzL（000zyx，，）3分，由，，，，183203020zyxxyLxzLyzLzyx5分得唯一可能极值点236zyx，，，6分由实际意义，该长方体有最大值（最小值趋向于零），于是所求点为)236(，，P.7分七、若级数1nnu绝对收敛，证明：（1）级数12nnu收敛；（2）级数1nnnu绝对收敛.（本题6分）证明：(1)由1nnu绝对收敛，有正项级数1nnu收敛，且0limnnu，1分又0limlim2nnnnnuuu2分，得级数12nnu收敛；3分（2）由)1(212222nunununnn4分，及12nnu与121nn都收敛，得1nnnu收敛5分，从而1nnnu绝对收敛.6分