搜索
线性相关和回归赵耐青在实际研究中，经常要考察两个指标之间的关系，即：相关性。现以体重与身高的关系为例，分析两个变量之间的相关性。要求身高和体重呈双正态分布，既：在身高和体重平均数的附近的频数较多，远离身高和体重平均数的频数较少。样本相关系数计算公式(称为Pearson相关系数)：)()())((22YYXXXYLLLYYXXYYXXr(1)1.考察随机模拟相关的情况。显示两个变量相关的散点图程序simur.ado（本教材配套程序,使用见前言）。命令为simur样本量总体相关系数如显示样本量为100，=0的散点图本例命令为simur1000如显示样本量为200，=0.8的散点图本例命令为simur2000.8y1y2-4-2024-4-202如显示样本量为200，=0.99的散点图本例命令为simur2000.99y1y2-4-202-2-1012y1y2-4-2024-4-2024如显示样本量为200，=-0.99的散点图本例命令为simur200-0.99y1y2-4-2024-4-2024例1.测得某地15名正常成年男子的身高x（cm）、体重y（kg）如试计算x和y之间的相关系数r并检验H0：＝0vsH1:0。=0.05数据格式为XY171.058.0176.069.0175.074.0172.068.0170.064.0173.068.5168.056.0172.054.0170.062.0172.063.0173.067.0168.060.0171.068.0172.076.0173.065.0Stata命令pwcorr变量1变量2…变量m，sig本例命令pwcorrxy,sigpwcorrxy,sig|xy-------------+------------------x|1.0000||y|0.59941.0000|0.0182|Pearson相关系数=0.5994，P值=0.01820.05，因此可以认为身高与体重呈正线性相关。注意：Pearson相关系数又称为线性相关系数并且要求X和Y双正态分布，通常在检查中要求X服从正态分布并且Y服从正态分布。如果不满足双正态分布时，可以计算Spearman相关系数又称为非参数相关系数。Spearman相关系数的计算基本思想为：用X和Y的秩代替它们的原始数据，然后代入Pearson相关系数的计算公式并且检验与Pearson相关系数类同。Stata实现spearmanxyNumberofobs=15Spearman'srho=0.6552TestofHo:xandyareindependentProb|t|=0.0080stata计算结果与手算的结果一致。结论为身高与体重呈正相关，并且有统计学意义。直线回归例2为了研究3岁至8岁男孩身高与年龄的规律，在某地区在3岁至8岁男孩中随机抽样，共分6个年龄层抽样：3岁，4岁，…，8岁，每个层抽10个男孩，共抽60个男孩。资料如下：60个男孩的身高资料如下年龄3岁4岁5岁6岁7岁8岁身高92.596.5106.0115.5125.5121.597.0101.0104.0115.5117.5128.596.0105.5107.0111.5118.0124.096.5102.0109.5110.0117.0125.597.0105.0111.0114.5122.0122.592.099.5107.5112.5119.0123.596.5102.0107.0116.5119.0120.591.0100.0111.5110.0125.5123.096.0106.5103.0114.5120.5124.099.0100.0109.0110.0122.0126.5平均身高95.4101.8107.6113.1120.6124.0由于男孩的身高与年龄有关系，不同的年龄组的平均身高是不同的，由平均身高与年龄作图可以发现：年龄与平均身高的点在一条直线附近。ageheightFittedvalues246890100110120130考虑到样本均数存在抽样误差，故有理由认为身高的总体均数与年龄的关系可能是一条直线关系xy，其中y表示身高，x表示年龄。由于身高的总体均数与年龄有关，所以更正确地标记应为xy|x表示在固定年龄情况下的身高总体均数。上述公式称为直线回归方程。其中为回归系数（regressioncoefficient），或称为斜率（slope）；称为常数项（constant），或称为截距（intercept）。回归系数表示x变化一个单位y平均变化个单位。当x和y都是随机的，x、y间呈正相关时0，x、y间呈负相关时0，x、y间独立时=0。一般情况而言，参数和是未知的。对于本例而言，不同民族和不同地区，和往往是不同的，因此需要进行估计的。由于不同年龄的身高实际观察值应在对应的身高总体均数附近(即：实际观察值与总体均数之间仅存在个体变异的差异)，故可以用年龄和实际身高观察值的资料对未知参数和进行估计。得到样本估计的回归方程ˆyabx二、直线回归方程的建立直线回归分析的Stata实现：数据结构：xy392.5397396396.5397392396.5391396399496.541014105.541024105499.5410241004106.541005106510451075109.551115107.551075111.5510351096115.56115.56111.561106114.56112.56116.561106114.561107125.57117.5711871177122711971197125.57120.571228121.58128.581248125.58122.58123.58120.5812381248126.5多重线性回归命令为regress因变量自变量1自变量2……自变量m直线回归命令regress因变量自变量本例为regressyx，得到下列结果：Source|SSdfMSNumberofobs=60-------------+------------------------------F(1,58)=777.41Model|5997.7157115997.71571ProbF=0.0000Residual|447.467619587.71495895R-squared=0.9306-------------+------------------------------AdjR-squared=0.9294Total|6445.1833359109.240395RootMSE=2.7776------------------------------------------------------------------------------y|Coef.Std.Err.tP|t|[95%Conf.Interval]-------------+----------------------------------------------------------------x|5.854286.209965427.880.0005.4339946.274577_cons|78.184761.20920264.660.00075.7642880.60524------------------------------------------------------------------------------得到回归系数b=5.854286，常数项a=78.18746，回归系数的检验统计量tb=27.88，P值0.0001，可以认为Y与X呈直线回归关系。来源平方和SS自由度df均方MSFP值回归5997.7157115997.71571777.410.0001残差447.467619587.71495895合计6445.1833359称21SSRSS残差合计为决定系数(本例Stata计算结果R-squared=0.9306)，因此0R21，因此残差平方和SSE越小，决定系数R2就越接近1。特别当所有的残差为0时，SSE=0，相应的决定系数R2=1。决定系数R2表示y被x所解释的部分所占的百分比，R2越接近于1说明x对y的解释越充分。残差=应变量观察值（y）-预测值(ˆy)Stata的残差计算命令在输入回归命令regressyx后，再输入predicte,residual计算残差并用变量e表示残差输入skteste残差的正态性检验输入predictyy计算预测值。残差正态性检验(H0:残差正态分布,=0.05)sktesteSkewness/KurtosistestsforNormality-------joint------Variable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi2(2)Probchi2-------------+-------------------------------------------------------e|0.4590.4411.180.5534P值=0.55340.05，可以认为残差呈正态分布。所建立的回归方程是否有意义，仅凭借假设检验的结论或R2的大小还不能充分说明问题。残差YYeˆ的大小直接反应回归方程的优劣，经常采用图示的方法，以e做纵轴，Yˆ为横轴作图来考察残差的变化，如果残差比较均匀地散布在e=0的周围，没有明显的散布趋势和明显的离群点，则说明所建回归方程比较理想，否则要借助统计软件做进一步诊断。graph残差预测值本例grapheyyResidualsFittedvalues95.7476125.019-50510说明残差比较均匀地散布在e=0的周围，没有明显的散布趋势和明显的离群点，故说明所建回归方程比较理想。