§4.5齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

§5齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构A,AX=0r.Asnn设为型矩阵则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为定理112A(,,,),0nAAX对列分块，则的证向量表示形式为11220,nnxxx12n其有非零解的充分必要条件是,,,线性相关，充分必要条件是12,,,.AnrArankn的列秩齐次线性方程组解的性质：122X,AX=00AX=0.XcXAX11设为齐次线性方程组的解，为常数，则(i)X仍为的解；（ii)cX仍为性1的解质12121(i)A(X)000;)()00.XAXAXcAXc1(ii)A(cX证212X,,,0kkk0k(1,2,,).rriXXAXXXXAXir112r更一般地，齐次线性方程组AX=0解的任意线性组合仍为解，即若为的解，则也为的解，其中为任意数由上述性质知：齐次线性方程组的解集合关于向量的加法，数乘构成一个线性空间，称为齐次线性方程组的解空间(spaceofsolutions为了表示齐次线性方程组的所有解，现引入基础解系的概念.12121212X,X,,XAX=0X,X,,X0()X,X,,X()0X,X,,XttttAXiiiiiAX定向量组称为的一个基础解系(basissetofsolutions),如果(i)皆为的解；线性无关；的任意解皆可由线性表示义.111X,X,,XAX=0t若为的一个基础解系，由基础解系的定义知112212kXXX:,,,tttSkkkkkP1122AX=0kXXXAX=0ttkk正好就是的解集合，称为的通解.求下列齐次线性方程组的一例1个基础解系123453220xxxxx234530xxxx23452280xxxxJordan对系数矩阵进行初等行变换化为解阶梯形矩阵1322110511001113011130212800102A初等行变换Jordan阶梯形1001200101500102B初等行变换B51230BX=0.B3,r3Bx,BX=0x,,.AXJordanxxx4现解的同解齐次线性方程组阶梯形有行不为零故，首元所在的列为的第1，2，3列，故对的任意值代入都能解出45BX=0x,x把的含的项移到等式右边得到14524535205,2xxxxxxxx451452x1,0,X11010,x0,1,X205201.TTxx令解得令解得121010,,,01013XX线性无关，而是在相同位置上添加个分量得到的，于是也线性无关.12200TTXkXBX123121123设X=ccckk为BX=的任意解，则X-kddd00也是的解，1231122d0,..ddXkXkX这就推出于是证毕Asr,n-r.Anrn设是型矩阵，则齐次线性方程组AX=0存在基础解系，且基定理2础解系含个解向量AB,Brn-ra1(1,2,,),irii可经过一系列初等行变换化为Jordan阶梯形矩阵显然的前行为非零行，后行全为零.不失一般性，可假设证即：1,11,212,12,22,1,210...0...01...0...........................00...1...00...000...0........................00...000...0rrnrrnrrrrrnkkkkkkBkkk12,,,(.BX=0AX=0.rrnxxx未知量都不在首元所在的列）称为为得同解自由未量方程组知1,11,212,12,22,1,210...0...01...0...........................00...1...00...000...0........................00...000...0rrnrrnrrrrrnkkkkkkBkkk121,0,,0rrnxxx让自由未知变量1211,122,1,1BX=0,,,r,,,.rrrrrrxxxxkxkxk代入得到未知量为的方程个数为的线性方程组，由克拉默法则可解得1,12,1,11100rrrrkkk从而XBX=0为的一个解.1223,(0,1BX=0BX=0X,,,rrnnrxxxXX再让自由未知变量，，的值分别为,,0),,(0,0,,1)代入可解得的解，于是得到1,11,212,12,22,1,212,,...,100010001rrnrrnrrrrrnnrkkkkkkkkkXXX1200AX=0BX=0,,,.nrAXAXXXX为的一组线性无关的解，要证明它正好为的一个基础解系，只需证明的任意解即的任意解可用线性表示1r+1r+1r+22n12X=(c,,,,,)BX=0),,,,0,0,,0)00rnrnrTrcccXXXdddXBX1设为AX=0(的任意解，则X-ccc（为B的解，代入得到121000010000010rdddr+1r+22n0(1,2,,),.inrdirXXXX1这推出于是c+cc12,,,AX=0nrXXX综上，为的一个基础解系.说明：上述定理的证明过程实际上就是求解齐次线性方程组的步骤.123412341234124202302230340xxxxxxxxxxxxxxx解线性2方程组例解:1112231112233401A11120135013501351112013500000000104701350000000034x,,x分别代入值(1,0),(0,1)得到方程组的一个自由未知量为基础解系：124735,,1001XX用基础解系表达的所有解为1122.cXcXAX=0Ar,()0n-r()0n-r+1n-rrniAXiiAXA设齐次线性方程组的系数矩阵为sn型，若则的每一个基础解系都含有个解；的任意个解向量线性相关；(iii)AX=0的任意个线性无关的解都是一个基推论1础解系.12,,,AX=0nrXXX设(I)为的一个证基础解系.12(),,,AX=0(I)(II)t=n-r;ti设(II)为的任意一个基础解系，则与皆线性无关且可以相互线性表示，故()AX=0(I);ii的任意n-r+1个解可由含n-r个向量的线性表示，故线性相关1212(),,,AX=0AX=0,,,(III)AX=0.nrnriii设(III)为的任意线性无关的解，为的任意解，则，线性相关，于是可由线性表示，故(III)为的一个基础解系AX=0AX=0.此外，与一个基础解系等价的任意线性无关向量组也是的基础解系AsBnA0,.AnmBrnB设为型矩阵，为型，则r例2n-rAX=0.A:是齐次线性方程组的基础解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线性方程组的解的分问题来证明析smsmB0,0000,12m对和矩阵进行列分块B=解AB=0,A000,AAA12m12m由利用分块矩阵得乘法得：A0(1,2,,).jjm这就有12,,,AX=0m于是为的解.1212121212r,AX=0,,,,,,,,,,,,,{,,,}.AnrmnrmnrArnXXXXXXrankXXXnrB若则由基础解系于是可由线性表示，则r=rank{}Br0AX=0B=0,r0;AAnr若，则只有零解，故显然n.)(,,)(,,)(,)()(*10112nARnARnARnARnA阶方阵，证明：为设例题。即是也为满秩矩阵，，所以，所以。又即是一个满秩矩阵，则若证明：nARAAAAAAEAAAEAAAAAAAnARnn)(||||||||||||||||||||,)()(*******0011.)()()(**00112ARAAnnAR，也即的余子式也为零，从而全部为零，所以阶子式，则知所有的若.)(.,)()()()(,||,||)()(*****11010013ARnAARARnARAREAAAAnAR故阶子式不为零至少有一个中因为。但以，所例题可知，根据前面的所以＝，则可知若123412341234203022320xxxxxxxxxxxx解线性方3程组例1121:11132232A解112100140014110700140000110700140000121710,,0401XX1217100401cc故通解为24,.xx是自由变量，分别代入值（1，0），（0，1）解出基础解系