2017年《南方新课堂高考总复习》数学(理科)第十章第4讲坐标系与参数方程[配套课件]

第4讲坐标系与参数方程考纲要求考点分布考情风向标1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.5.了解参数方程，了解参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.6.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.7.了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用2011年新课标卷考查圆的参数方程与直线的极坐标方程；2012年新课标卷考查椭圆的参数方程与圆的极坐标方程；2013年新课标卷Ⅰ考查直线的参数方程化为极坐标方程；考查求两圆交点的极坐标；2014年新课标卷Ⅰ考查椭圆普通方程化为参数方程，直线参数方程化为普通方程；考查求动线段长度的最值；2015年新课标卷Ⅰ考查直线、圆的极坐标方程化为普通方程；考查直线与圆的位置关系，求三角形的面积从近几年的高考来看，极坐标与参数方程作为选考内容基本没有变化，都是二选一，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化；直线、圆及椭圆的参数方程及与普通方程的互化.将极坐标方程、参数方程转化为普通方程进行求解，是解决本节问题的基本策略1.极坐标和直角坐标的互化公式若点M的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则将直角坐标化为极坐标利用公式①，将极坐标化为直角坐标利用公式②.x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；①ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx，x≠0.②2.参数方程(1)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为__________________________，参数θ的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度.x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)为参数).x＝acos，y＝bsin(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为______________(φφφ(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝asecφ，y＝btanφ(φ为参数).(4)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数).(5)过点P(x0，y0)，且斜率为ba的直线的参数方程为x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)；过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，此时|t|表示参数t对应的点M(x，y)到定点M0(x0，y0)的距离.1.(2015年北京)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为______.解析：先把极坐标化点2，π3为直角坐标(1，3)，再把直线的极坐标方程ρ(cosθ＋3sinθ)＝6化为直角坐标方程x＋3y－6＝0，利用点到直线距离公式d＝|1＋3×3－6|12＋32＝1.12.(2015年广东)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________.(2，－4)解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由x＋y＝－2，y2＝8x，得x＝2，y＝－4.所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4).22tρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为3.(2015年湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝_____.x＝t－1t，y＝t＋1t解析：因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ－3ρcosθ＝0，所以y－3x＝0，即y＝3x.由x＝t－1t，y＝t＋1t，消去t，得y2－x2＝4，联立方程组y＝3x，y2－x2＝4，解得x＝22y＝322或x＝－22y＝－322，即A22，322，B－22，－322，由两点间的距离公式|AB|＝22＋222＋322＋3222＝25.答案：254.(2015年重庆)已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为直线l与曲线C的交点的极坐标为________.(2，π)解析：直线l的普通方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4，得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2,0)，其极坐标为(2，π).ρ2cos2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则考点1极坐标解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6.所以圆C的半径为.例1：(2015年福建)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22·ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0.6【规律方法】(1)运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行.(ρ∈R)距离的最大值是_____.【互动探究】1.(2015年安徽)在极坐标中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝6解析：由题意ρ2＝8ρsinθ，转化为普通方程为x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16；直线θ＝(ρ∈R)转化为普通方程为y＝x，则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心的直线上半径加上圆心到直线的距离，设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则圆上的点到直线距离的最大值D＝d＋r＝＋4＝2＋4＝6.π3π33|0－4|12＋－322.在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为d，求d的最大值.解：将极坐标方程转化为普通方程x2＋y2＝9，它的最大值为4.3ρ(cosθ＋3sinθ)＝2可化为x＋3y＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A(3cosα，3sinα)，则点A到直线的距离为d＝|3cosα＋33sinα－2|2＝|6sinα＋30°－2|2，考点2参数方程(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.例2：(2014年新课标Ⅰ)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t.(t为参数)解：(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ.(θ为参数)直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255；当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.【规律方法】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方程与参数方程等价.【互动探究】3.(2011年新课标)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.考点3极坐标与参数方程的相互转化例3：(2015年新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.【规律方法】(1)将曲线C2与C1的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标.(2)分别联立C2与C1和C3与C1的极坐标方程，求得A，B的极坐标，由极径的概念将|AB|表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区.【互动探究】4.(2013年新课标Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π).解：将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.∴C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.∴C1与C2交点的极坐标为2，π4，2，π2.易错、易混、易漏⊙参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围正解：C1：x2＋y2＝5(0≤